1934

Перельман1934.531: Перельман Я.И. Живая математика : Математич. рассказы и головоломки / Я. И. Перельман ; Переплет и ил.: Ю. Д. Скалдин. — Ленинград; Москва : Гос. техн.-теоретич. изд-во, 1934 (Л.: тип. им. Бухарина). — 208с.

Глава 1. В ДОМЕ ОТДЫХА.

ЗАВТРАК С ГОЛОВОЛОМКАМИ

Задача 1. Белка на поляне

— Сегодня утром я с белкой в прятки играл, — рассказывал во время завтрака один из собравшихся за столом дома отдыха. — Вы знаете в нашем лесу круглую полянку с одинокой березой посередине? За этим деревом и пряталась от меня белка. Выйдя из чащи на полянку, я сразу заметил беличью мордочку с живыми глазками, уставившуюся на меня из-за ствола. Осторожно, не приближаясь, стал я обходить по краю полянки, чтобы взглянуть на зверька. Раза четыре обошел я дерево — но плутовка отступала по стволу в обратную сторону, по-прежнему показывая только мордочку. Так и не удалось мне обойти кругом белки.
— Однако, — возразил кто-то, — сами же вы говорите, что четыре раза обошли вокруг дерева.
— Вокруг дерева, но не вокруг белки!
— Но белка-то на дереве?
— Что же из того? 
— То, что вы кружились и около белки.
— Хорошо кружился, если ни разу не видел ее спинки.
— При чем тут спинка? Белка в центре, вы ходите по кругу, значит, — ходите кругом белки.
— Ничуть не значит. Вообразите, что я хожу около вас по кругу, а вы поворачиваетесь ко мне все время лицом, пряча спину. Скажете вы разве, что я кружусь около вас?
— Конечно, скажу. Как же иначе?
— Кружусь, хотя не бываю позади вас, не вижу вашей спины?
— Далась вам спина! Вы замыкаете вокруг меня путь — вот в чем суть дела, а не в том, чтобы видеть спину.
— Позвольте: что значит кружиться около чего-нибудь? По-моему, это означает только одно: становиться последовательно в такие места, чтобы видеть предмет со всех сторон. Ведь правильно, профессор? — обратился спорящий к сидевшему за столом старику.
— Спор идет у вас, в сущности, о словах, — ответил ученый. — А в таких случаях надо начинать всегда с того, о чем вы сейчас только завели речь: надо договориться о значении слов. Как понимать слова: «двигаться вокруг предмета»? Смысл их может быть двоякий. Можно, во-первых, разуметь под ними перемещение по замкнутой линии, внутри которой находится предмет. Это одно понимание. Другое: двигаться по отношению к предмету так, чтобы видеть его со всех сторон. Держась первого понимания вы должны признать, что четыре раза обошли вокруг белки. Придерживаясь же второго, — обязаны заключить, что не обошли вокруг нее ни разу. Поводов для спора здесь, как видите, нет, если обе стороны говорят на одном языке, понимают слова одинаково.
— Прекрасно, можно допустить двоякое понимание. Но какое все же правильнее?
— Так ставить вопрос не приходится. Условливаться можно о чем угодно. Уместно только спросить, что более согласно с общепринятым пониманием. Я сказал бы, что лучше вяжется с духом языка первое понимание, и вот почему. Солнце, как известно, делает полный оборот кругом своей оси в 26 суток…
— Солнце вертится?
— Конечно, как и Земля, вокруг оси. Вообразите, однако, что вращение Солнца совершается медленнее, а именно, что оно делает один оборот не в 26 суток, а в 365 1/4 суток, т. е. в год. Тогда Солнце было бы обращено к Земле всегда одной и той же своей стороной; противоположной половины, «спины» Солнца, мы никогда не видели бы. Но разве стал бы кто-нибудь утверждать из-за этого, что Земля не кружится около Солнца?
—  Да, теперь ясно, что я все-таки кружился около белки.
— Есть предложение, товарищи! Не расходиться, —  сказал один из слушавших спор. — Так как в дождь гулять никто не пойдет, а перестанет дождик, видно, не скоро, то давайте проведем здесь время за головоломками. Начало сделано. Пусть каждый по очереди придумает или припомнит какую-нибудь головоломку. Вы же, профессор, явитесь нашим верховным судьей.
— Если головоломки будут с алгеброй или с геометрией, то я должна отказаться, — заявила молодая женщина.
— И я тоже, — присоединился кто-то.
— Нет, нет, участвовать должны все! А мы попросим присутствующих не привлекать ни алгебры, ни геометрии, разве только самые начатки. Возражений не имеется?
— Тогда я согласна и готова первая предложить головоломку.
—  Прекрасно, просим! — донеслось с разных сторон. — Начинайте.
(Перельман,Живая математика,1934:5,Задача 1)

Задача 2. В коммунальной кухне

— Головоломка моя зародилась в обстановке коммунальной квартиры. Задача, так сказать, бытовая. Жилица — назову ее для удобства Тройкиной — положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина — 5 полен. Жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату?
— Пополам, — поспешил заявить кто-то. — Бестопливный пользовался их огнем в равной мере.
— Ну, нет, — возразил другой, — надо принять в соображение, как участвовали в этом огне дровяные вложения гражданок. Кто дал 3 полена, должен получить 30 копеек; кто дал 5 полен — получает 50 копеек. Вот это будет справедливый дележ.
— Товарищи, — взял слово тот, кто затеял игру и считался теперь председателем собрания. — Окончательные решения головоломок давайте пока не объявлять. Пусть каждый еще подумает над ними. Правильные ответы судья огласит нам за ужином. Теперь следующий. Очередь за вами, товарищ пионер!
(Перельман,Живая математика,1934:8,Задача 2)

Задача 3. Работа школьных кружков

— В нашей школе, — начал пионер, — имеется 5 кружков: политкружок, военный, фотографический, шахматный и хоровой. Политкружок занимается через день, военный — через 2 дня на 3-й, фотографический — каждый 4-й день, шахматный — каждый 5-й день и хоровой — каждый 6-й день. Первого января собрались в школе все 5 кружков, а затем занятия велись в назначенные по плану дни, без отступлений от расписания. Вопрос состоит в том, сколько в первом квартале было еще вечеров, когда собирались в школе все 5 кружков.
— А год был простой или високосный? — осведомились у пионера.
— Простой.
— Значит, первый квартал, — январь, февраль, март, — надо считать за 90 дней?
— Очевидно.
— Позвольте к вопросу вашей головоломки присоединить еще один, — сказал профессор. — А именно: сколько в том же квартале года было таких вечеров, когда кружковых занятий в школе вовсе не происходило?
— Ага, понимаю! — раздался возглас. — Задача с подвохом. Ни одного дня не будет больше с 5 кружками и ни одного дня без всяких кружков. Это уж ясно!
— Почему? — спросил председатель.
— Объяснить не могу, но чувствую, что отгадчика хотят поймать впросак.
— Ну, это не довод. Вечером выяснится, правильно ли ваше предчувствие. За вами очередь, товарищ!
(Перельман,Живая математика,1934:9,Задача 3)

Задача 4. Кто больше?

— Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них на тротуаре. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперед по тротуару. Кто насчитал больше прохожих ?
— Идя, больше насчитаешь, ясное дело, — донеслось с другого конца стола.
— Ответ узнаем за ужином, — объявил председатель. — Следующий!
(Перельман,Живая математика,1934:10,Задача 4)

Задача 5. Дед и внук

— То, о чем я скажу, происходило в 1932 г. Мне было тогда ровно столько лет, сколько выражают последние две цифры года моего рождения. Когда я об этом соотношении рассказал деду, он удивил меня заявлением, что с его возрастом выходит то же самое. Мне это показалось невозможным…
— Разумеется, невозможно, — вставил чей-то голос.
— Представьте, что вполне возможно. Дед доказал мне это. Сколько же было лет каждому из нас?
(Перельман,Живая математика,1934:10,Задача 5)

Задача 6. Железнодорожные билеты

— Я — железнодорожная кассирша, продаю билеты, — начала следующая участница игры. — Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я служу на дороге с 25 станциями. Сколько же, по-вашему, различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?
— Ваша очередь, товарищ летчик, — провозгласил председатель.
(Перельман,Живая математика,1934:11,Задача 6)

Задача 7. Полет дирижабля

— Из Ленинграда вылетел прямо на север дирижабль. Пролетев в северном направлении 500 км, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 500 км, дирижабль сделал новый поворот — на юг и прошел в южном направлении 500 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 500 км, опустился на землю. Спрашивается: где расположено место спуска дирижабля относительно Ленинграда — к западу, к востоку, к северу или к югу?
— На простака рассчитываете, — сказал кто-то: — 500 шагов вперед, 500 вправо, 500 назад да 500 влево — куда придем? Откуда вышли, туда и придем!
— Итак, где, по-вашему, спустился дирижабль?
— На том же ленинградском аэродроме, откуда поднялся. Не так разве?
— Именно не так.
— В таком случае я ничего не понимаю!
— В самом деле, здесь что-то неладно, — вступил в разговор сосед. — Разве дирижабль спустился не в Ленинграде?.. Нельзя ли повторить задачу? 
Летчик охотно исполнил просьбу. Его внимательно выслушали и с недоуменьем переглянулись.
— Ладно, — объявил председатель. — До ужина успеем подумать об этой задаче, а сейчас будем продолжать.
(Перельман,Живая математика,1934:11,Задача 7)

Задача 8. Тень

— Позвольте мне, — сказал очередной загадчик, — взять сюжетом головоломки тот же дирижабль. Что длиннее: дирижабль или его полная тень?
— В этом и вся головоломка?
— Вся.
— Тень, конечно, длиннее дирижабля: ведь лучи солнца расходятся веером, — последовало сразу решение.
— Я бы сказал, — возразил кто-то, — что, напротив, лучи солнца параллельны; тень и дирижабль одной длины.
— Что вы? Разве не случалось вам видеть расходящиеся лучи от спрятанного за облаком солнца? Тогда можно воочию убедиться, как сильно расходятся солнечные лучи. Тень дирижабля должна быть значительно больше дирижабля, как тень облака больше самого облака.
— Почему же обычно принимают, что лучи солнца параллельны? Моряки, астрономы — все так считают…
Председатель не дал спору разгореться и предоставил слово следующему загадчику.
(Перельман,Живая математика,1934:12,Задача 8)

Задача 9. Задача со спичками

Очередной оратор высыпал на стол все спички из коробка и стал распределять их в три кучки.
— Костер собираетесь раскладывать? — шутили слушатели.
— Головоломка, — объяснил загадчик, — будет со спичками. Вот их три неравных кучки. Во всех вместе 48 штук. Сколько в каждой, я вам не сообщаю. Зато отметьте следующее: если из первой кучи я переложу во вторую столько спичек, сколько в этой второй куче имелось; затем из второй в третью переложу столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться; и, на-конец, из третьей переложу в первую столько спичек, сколько в этой первой куче будет тогда иметься, — если, говорю, все это проделать, то число спичек во всех кучках станет одинаково. Сколько же было в каждой кучке первоначально?
(Перельман,Живая математика,1934:13,Задача 9)

Задача 10. Коварный пень

— Головоломка эта, — начал сосед последнего загадчика, — напоминает задачу, которую давно как-то задал мне деревенский математик. Это был целый рассказ, довольно забавный. Повстречал крестьянин в лесу незнакомого старика. Разговорились. Старик внимательно оглядел крестьянина и сказал:
— Известен мне в леску этом пенечек один удивительный. Очень в нужде помогает.
— Как помогает? Вылечивает?
— Лечить не лечит, а деньги удваивает. Положишь под него кошель с деньгами, досчитаешь до ста — и готово: деньги, какие были в кошельке, удвоились. Такое свойство имеет. Замечательный пень!
— Вот бы мне испробовать, — мечтательно сказал крестьянин.
— Это можно. Отчего же? Заплатить только надо.
— Кому платить? И много ли?
— Тому платить, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор.
Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке денег мало, старик согласился получать после каждого удвоения по 1 р. 20 коп. На том и порешили. Старик повел крестьянина вглубь леса, долго бродил с ним и наконец разыскал в кустах старый, покрытый мохом еловый пень. Взяв из рук крестьянина кошелек, он засунул его между корнями пня. Досчитали до ста. Старик снова стал шарить и возиться у основания пня, наконец извлек оттуда кошелек и подал крестьянину. Заглянул крестьянин в кошелек, и что же? — деньги в самом деле удвоились! Отсчитал из них старику обещанные 1 р. 20 коп. и попросил засунуть кошелек вторично под чудодейственный пень. 
Снова досчитали до ста, снова старик стал возиться в кустах у пня, и снова совершилось диво: деньги в кошельке удвоились. Старик вторично получил из кошелька обусловленные 1 р. 20 коп.
В третий раз спрятали кошель под пень. Деньги удвоились и на этот раз. Но когда крестьянин уплатил старику обещанное вознаграждение, в кошельке не осталось больше ни одной копейки. Бедняга потерял на этой комбинации все свои деньги. Удваивать дальше было уже нечего, и крестьянин уныло побрел из лесу.
Секрет волшебного удвоения денег вам, конечно, ясен: старик недаром, отыскивая кошелек, мешкал в зарослях у пня. Но можете ли вы ответить на другой вопрос: сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнем?
(Перельман,Живая математика,1934:13,Задача 10)

Задача 11. Задача о декабре

— Я, товарищи, языковед, от всякой математики далек, — начал пожилой человек, которому пришел черед задавать головоломку. — Не ждите от меня поэтому математической задачи. Могу только предложить вопрос из знакомой мне области. Разрешите задать календарную головоломку?
— Просим!
— Двенадцатый месяц называется у нас «декабрь». А вы знаете, что, собственно, значит «декабрь»? Слово это происходит от греческого слова «дека» — десять, отсюда также слова «декалитр» — десять литров, «декада» — десять дней и др. Выходит, что месяц декабрь носит название «десятый». Чем объяснить такое несоответствие?
— Ну, теперь осталась только одна головоломка, — произнес председатель.
(Перельман,Живая математика,1934:15,Задача 11)

Задача 12. Арифметический фокус

— Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет на бумажке тайно от меня любое трехзначное число.
— Могут быть и нули в этом числе?
— Не ставлю никаких ограничений. Любое трехзначное число, какое пожелаете.
— Написал. Что теперь?
— Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.
— Есть. Шестизначное число.
— Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь.
— Легко сказать: разделить на семь! Может и не разделиться.
— Не беспокойтесь, поделится без остатка.
— Числа не знаете, а уверены, что поделится.
— Сначала разделите, потом будем говорить.
— На ваше счастье, разделилось.
— Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.
— Думаете, опять повезет — разделится?
— Делите, остатка не получится.
— В самом деле без остатка! Теперь что?
— Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.
— Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится… Ан нет, разделилось нацело. Везет же вам!
— Дайте мне бумажку с результатом; только сложите ее, чтобы я не видел числа.
Не развертывая листка бумаги, «фокусник» вручил его председателю.
— Извольте получить задуманное вами число. Правильно?
— Совершенно верно! — с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. — Именно это я и задумал… А теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.
(Перельман,Живая математика,1934:15,Задача 12)

Задача 13. Зачеркнутая цифра

Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например, 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8 + 4 + 7 = 19) и отнять ее от задуманного числа. У загадчика окажется: 847 − 19 = 828.
В том числе, которое получится, пусть он зачеркнет одну цифру — безразлично какую, — и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фокуса?
(Перельман,Живая математика,1934:25,Задача 13)

Задача 13а. Отгадать число, ничего не спрашивая

Вы предлагаете товарищу задумать любое трехзначное число, не оканчивающееся нулем, и просите затем переставить цифры в обратном порядке. Сделав это, он должен вычесть меньшее число из большего и полученную разность сложить с нею же, но написанною в обратной последовательности цифр. Ничего не спрашивая у загадчика, вы сообщаете ему число, которое у него получилось в конечном итоге.
(Перельман,Живая математика,1934:26,Задача 13а)

Задача 14. Кто что взял?

Для выполнения этого остроумного фокуса необходимо приготовить три какие-нибудь мелкие вещицы, удобно помещающиеся в кармане, например карандаш, ключ и перочинный ножик. Кроме того, поставьте на стол тарелку с 24 орехами; за неимением орехов годятся шашки, кости домино, спички и т. п.
Троим товарищам вы предлагаете во время вашего отсутствия из комнаты спрятать в карман карандаш, ключ или ножик, кто какую вещь хочет. Вы беретесь отгадать, в чьем кармане какая вещь. Процедура отгадывания проводится так. Возвратившись в комнату после того, как вещи спрятаны по карманам товарищей, вы начинаете с того, что вручаете им на сохранение орехи из тарелки. Первому даете один орех, второму — два, третьему — три. Затем снова удаляетесь из комнаты, оставив товарищам следующую инструкцию. Каждый должен взять себе из тарелки еще орехов, а именно: обладатель карандаша берет столько орехов, сколько ему было вручено; обладатель ключа берет вдвое больше того числа орехов, какое ему было вручено; обладатель ножа берет вчетверо больше того числа орехов, какое ему было вручено. Прочие орехи остаются на тарелке.
Когда все это проделано и вам дан сигнал возвратиться, вы, входя в комнату, бросаете взгляд на тарелку и объявляете, у кого в кармане какая вещь.
Фокус тем более озадачивает, что выполняется без участия тайного сообщника, подающего вам незаметные сигналы, В нем нет никакого обмана: он целиком основан на арифметическом расчете.
(Перельман,Живая математика,1934:27,Задача 14)

Глава II. МАТЕМАТИКА В ИГРАХ.

ДОМИНО

Задача 15. Цепь из 28 костей

Почему 28 костей домино можно выложить с соблюдением правил игры в одну непрерывную цепь?
(Перельман,Живая математика,1934:31,Задача 15)

Задача 16. Начало и конец цепи

Когда 28 костей домино выложены в цепь, на одном ее конце оказалось 5 очков.
Сколько очков на другом конце?
(Перельман,Живая математика,1934:31,Задача 16)

Задача 17. Фокус с домино

Ваш товарищ берет одну из костей домино и предлагает вам из остальных 27 составить непрерывную цепь, утверждая, что это всегда возможно, какая бы кость ни была взята. Сам же он удаляется в соседнюю комнату, чтобы не видеть вашей цепи. Вы приступаете к работе и убеждаетесь, что товарищ ваш прав: 27 костей выложились в одну цепь. Еще удивительнее то. что товарищ, оставаясь в соседней комнате и не видя вашей цепи, объявляет оттуда, какие числа очков на ее концах. Как может он это знать? И почему он уверен, что из всяких 27 костей домино составится непрерывная цепь?
(Перельман,Живая математика,1934:31,Задача 17)

Задача 18. Рамка

Квадратная рамка выложена из костей домино с соблюдением правил игры. Стороны рамки равны по длине, но не одинаковы по сумме очков: верхний и левый ряды заключают по 44 очка, остальные же два ряда — 59 и 32.
Можете ли вы выложить такую квадратную рамку, все стороны которой заключали бы одинаковую сумму очков — именно 44?
(Перельман,Живая математика,1934:32,Задача 18)

Задача 19. Семь квадратов

Четыре кости домино можно выбрать так, чтобы из них составился квадратик с равной суммой очков на каждой стороне. Образчик вы видите на рис. 10: сложив очки на каждой стороне квадратика, во всех случаях получите 11.
Можете ли вы из полного набора домино составить одновременно семь таких квадратов? Не требуется, чтобы сумма очков на одной стороне получалась у всех квадратов одна и та же; надо лишь, чтобы каждый квадрат имел на своих четырех сторонах одинаковую сумму очков.
(Перельман,Живая математика,1934:33,Задача 19)

Задача 20. Магические квадраты из домино

Показан квадрат из 18 косточек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда — продольного, поперечного или диагонального — одна и та же: 13. Подобные квадраты издавна называются «магическими».
Вам предлагается составить несколько таких же 18-косточковых магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду. 13 — наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма — 23.
(Перельман,Живая математика,1934:33,Задача 20)

Задача 21. Прогрессия из домино

Вы видите шесть косточек домино, выложенных по правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух половинах каждой косточки) возрастает на 1: начинаясь с 4, ряд состоит из следующих чисел очков: 4; 5; 6; 7; 8; 9. Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же величину, называется «арифметической прогрессией». В нашем ряду каждое число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая «разность». Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточковых прогрессий.
(Перельман,Живая математика,1934:33,Задача 21)

ГЛАВА VII. РАССКАЗЫ О ЧИСЛАХ-ВЕЛИКАНАХ

Задача 1. Выгодная сделка

I. Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.
«Бывают же такие удачи, — рассказывал он домашним. — Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя невидный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.
— Сделаем, — говорит, — такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить — смешно вымолвить — всего только одну копейку.
Я ушам не верил:
— Одну копейку? — переспрашиваю.
— Одну копейку, — говорит. — За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.
— Ну, — не терпится мне. — А дальше?
— А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую 8, за пятую — 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.
— И потом что? — спрашиваю.
— Все, — говорит, — больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.
Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.
— Ладно, — говорю. — Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.
— Будь покоен, — говорит; — завтра с утра жди.
Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать».
II. Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.
— Деньги готовь, — говорит. — Я свои принес.
И действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги — настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:
— Вот мое по уговору. Твой черед платить.
Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмет гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует.
Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.
— Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припси, — сказал он и ушел.
Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: все правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.
Ночью взяло его сомнение: не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?
Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог.
Наутро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел, бросив на прощанье:— К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь.
Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось…
Явился незнакомец и на третий день — третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки. Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч — за 8 копеек. Пришла и пятая сотня тысяч — за 16 копеек. Потом шестая — за 32 копейки.
Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:
1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 р. 27 коп.
Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трех миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок еще хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдает… А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч. 
На 8-й день получил он 1 р. 28 коп., на 9-й — 2 р. 56 коп., на 10-й — 5 р. 12 коп., на 11-й — 10 р. 24 коп., на 12-й — 20 р. 48 коп., на 13-й — 40 р. 96 коп., на 14-й — 81 р. 92 коп. Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже один миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста рублей.
Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не простак и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:
за 15-ую сотню тысяч . . . . . 163 р. 84 коп.
» 16         »       . . . . . 327 » 68 »
» 17  »      »       . . . . . 655 » 36 »
» 18  »      »       . . . . . 1310 » 72 »
» 19  »      »       . . . . . 2621 » 44 »
Впрочем, богач считал себя еще далеко не в убытке: хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1800 тысяч.
Прибыль, однако, с каждым днем уменьшалась, притом все быстрее и быстрее.
Вот дальнейшие платежи:
за 20-ую сотню тысяч . . . . .     5 242 р. 88 коп.
» 21  »      »          »     . . . . . 10 485 » 76   »
» 22  »      »          »     . . . . . 20 971 » 52   »
» 23  »      »          »     . . . . . 41 943 » 04   »
» 24  »      »          »     . . . . . 83 886 » 08   »
» 25  »      »          »     . . . . . 167 772 » 16  »
» 26  »      »          »     . . . . . 335 544 » 32  »
» 27  »      »          »     . . . . . 671 088 » 64  »
Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора.
Дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит… Начиная с 28-го дня богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:
За 28-ую сотню тысяч . . . .   1 342 177 р. 28 коп.
»  29  »       »     . . . .   2 684 354 » 56   »
»  30  »       »     . . . .   5 368 709 » 12   »
Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешевые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу 10 737 418 р. 23 коп.
Без малого 11 миллионов!.. А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и все-таки не прогадал бы.
(Перельман,Живая математика,1934:86,Задача 1)

Задача 2. Городские слухи

I. В провинциальный город с 50-тысячным населением приехал в 8 час. утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В гостинице, где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; эта заняло, скажем, четверть часа. Итак в 81/4 час. утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трем местным жителям. Узнав интересную новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало, допустим, также четверти часа. Значит спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + (3 × 3) = 13 человек.
Каждый из 9 вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что к 83/4 часам утра новость стала известна 13 + (3 × 9) = 40 гражданам.
Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший про новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
в 9    час. новость узнают   40 + (3×27) =   121 чел
в 9 1/4  »          »        121 + (3×81) =  364   »
в 9 1/2  »          »        364 + (3×243) = 1093  »
Спустя полтора часа после первого появления в городе новости ее будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для населения в 50 000. Можно подумать, что новость не скоро еще станет известна всем жителям. Проследим, однако, далее за распространением слуха:
в 9 3/4 »          »         »  1093 + (3×729) = 3280 чел
в 10    »          »          » 3280 + (3×2187) = 9841  »
Еще спустя четверть часа будет уже осведомлено больше половины города: 9841 + (3 × 6561) = 29 524.
И, значит, ранее чем в половине одиннадцатого дня поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 час. утра известна была только одному человеку.
(Перельман,Живая математика,1934:92,Задача 2)

Задача 3. Лавина дешевых велосипедов

В дореволюционные годы были у нас, — а за рубежом, вероятно, и теперь еще находятся — предприниматели, которые прибегают к довольно оригинальному способу сбывать свой товар, обычно посредственного качества. 
Начинали с того, что в распространенных газетах и журналах печатали рекламу такого содержания:
Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычной покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее. За 10 руб. высылался пока не самый велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб. своим четверым знакомым. Собранные таким образом 40 руб. следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего в 10 руб., остальные 40 руб. уплачивались ведь не из его кармана. Правда, кроме уплаты 10 руб. наличными деньгами приобретатель велосипеда имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, — но этот маленький труд в счет не шел.
Что же это были за билеты? Какие блага приобретал их покупатель за 10 руб.? Он получал право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал возможность собрать 50 руб. для покупки велосипеда, который ему обходился, следовательно, только в 10 руб., т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов в свою очередь получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения, и т. д.
На первый взгляд во всем этом не было обмана. Обещание рекламного объявления исполнялось: велосипед в самом деле обходился покупателям всего лишь в 10 руб. Да и фирма не оказывалась в убытке, — она получала за свой товар полную его стоимость.
А между тем вся затея — несомненное мошенничество. «Лавина», как называли эту аферу у нас, или «снежный ком», как величали ее французы, — вовлекала в убыток тех многочисленных ее участников, которым не удавалось сбыть дальше купленные ими билеты. Они-то и уплачивали фирме разницу между 50-рублевой стоимостью велосипедов и 10-рублевой платой за них. Рано ли, поздно ли, но неизбежно наступал момент, когда держатели билетов не могли найти охотников их приобрести. Что так должно непременно случиться, вы поймете, дав себе труд проследить с карандашом в руке за тем, как стремительно возрастает число людей, вовлекаемых в лавину.
Первая группа покупателей, получившая свои билеты прямо от фирмы, находит покупателей обычно без особого труда; каждый член этой группы снабжает билетами четверых новых участников.Эти четверо должны сбыть свои билеты 4 × 5, т. е. 20 другим, убедив их в выгодности такой покупки. Допустим, что это удалось и 20 покупателей завербовано.
Лавина движется дальше. 20 новых обладателей билетов должны наделить ими 20 × 5 = 100 других. До сих пор каждый из «родоначальников» лавины втянул в нее 1 + 4 + 20 + 100 = 125 человек,из которых 25 имеют по велосипеду, а 100 — только надежду его получить, уплатив за эту надежду по 10 руб.
Теперь лавина выходит уже из тесного круга знакомых между собою людей и начинает растекаться по городу, где ей становится, однако, все труднее и труднее отыскивать свежий материал. Сотня последних обладателей билетов должна снабдить такими же билетами 500 граждан, которым в свою очередь придется завербовать 2500 новых жертв. Город быстро наводняется билетами, и отыскивать охотников приобрести их становится весьма нелегким делом. Вы видите, что число людей, втянутых в лавину, растет по тому же самому закону, с которым мы встретились, когда беседовали о распространении слухов. 
Вот числовая пирамида, которая в этом случае получается:
          1
         4
        20
      100
     500
   2 500
 12 500
62 500
Если город велик и все его население, способное сидеть на велосипеде, составляет 62,5 тысячи, то в рассматриваемый момент, т. е. на 8 «туре», лавина должна иссякнуть. Все оказались втянутыми в нее. Но обладает велосипедами только пятая часть, у остальных же 4/5 имеются на руках билеты, которые некому сбыть.
Для города с более многочисленным населением, даже для современного столичного центра, насчитывающего миллионы жителей, момент насыщения наступит всего несколькими турами позднее, потому что числа лавины растут с неимоверной быстротой. Вот следующие ярусы нашей числовой пирамиды:
312 500
1 562 500
7 812 500
39 062 500
На 12-м туре лавина, как видите, могла бы втянуть в себя население целого государства. И 4/5 этого населения будет обмануто устроителями лавины.
Подведем итог тому, чего, собственно, достигает фирма устройством лавины. Она принуждает 4/5 населения оплачивать товар, приобретаемый остальною 1/5 частью населения; иными словами — заставляет четырех граждан благодетельствовать пятого. Совершенно безвозмездно приобретает фирма, кроме того, многочисленный штат усердных распространителей ее товара. Правильно охарактеризовал эту аферу один из наших писателей как «лавину взаимного объегоривания». Числовой великан, невидимо скрывающийся за этой затеей, наказывает тех, кто не умеет воспользоваться арифметическим расчетом для ограждения собственных интересов от посягательства аферистов.
(Перельман,Живая математика,1934:96,Задача 3)

Задача 4. Награда

I. Вот что, по преданию, произошло много веков назад в древнем Риме.
Полководец Теренций по приказу императора совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.
Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать высокое положение в сенате. Но Теренцию нужно было не это. Он возразил:
— Много побед одержал я, чтобы возвысить твое могущество, государь, и окружить имя твое славой. Я не страшился смерти, и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принес бы тебе в жертву. Но я устал воевать; прошла молодость, кровь медленнее бежит в моих жилах. Наступила пора отдохнуть в доме моих предков и насладиться радостями домашней жизни.
— Что же желал бы ты от меня, Теренций? — спросил император.
— Выслушай со снисхождением, государь! За долгие годы военной жизни, изо дня в день обагряя меч свой кровью, я не успел устроить себе денежного благополучия. Я беден, государь…
— Продолжай, храбрый Теренций.
— Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему, — продолжал ободренный полководец, — то пусть щедрость твоя поможет мне дожить мирно в достатке годы подле домашнего очага. Я не ищу почестей и высокого положения во всемогущем сенате. Я желал бы удалиться от власти и от жизни общественной, чтобы отдохнуть на покое. Государь, дай мне денег для обеспечения остатка моей жизни.
Император — гласит предание — не отличался широкой щедростью. Он любил копить деньги для себя и скупо тратил их на других. Просьба полководца заставила его задуматься.
— Какую же сумму, Теренций, считал бы ты для себя достаточной? — спросил он.
— Миллион динариев, государь.
Снова задумался император. Полководец ждал, опустив голову. Наконец император заговорил:
— Доблестный Теренций! Ты великий воин, и славные подвиги твои заслужили щедрой награды. Я дам тебе богатство. Завтра в полдень ты услышишь здесь мое решение.
Теренций поклонился и вышел.
II. На следующий день в назначенный час полководец явился во дворец императора.
— Привет тебе, храбрый Теренций! — сказал император.
Теренций смиренно наклонил голову.
— Я пришел, государь, чтобы выслушать твое решение. Ты милостиво обещал вознаградить меня.
Император ответил:
— Не хочу, чтобы такой благородный воитель, как ты, получил за свои подвиги жалкую награду. Выслушай же меня. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов. Теперь внимай моим словам. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесешь монету, стоящую 4 брасса, в четвертый — стоящую 8 брассов, в пятый — 16, и так далее, все удваивая стоимость монеты. Я прикажу ежедневно изготовлять для тебя монеты надлежащей ценности. И пока хватит у тебя сил поднимать монеты, будешь ты выносить их из моего казначейства. Никто не вправе помогать тебе; ты должен пользоваться только собственными силами. И когда заметишь, что не можешь уже больше поднять монету — остановись: уговор наш кончится, но все монеты, которые удалось тебе вынести, останутся твоими и послужат тебе наградой.
Жадно впивал Теренций каждое слово императора. Ему чудилось огромное множество монет, одна больше другой, которые вынесет он из государственного казначейства.
— Я доволен твоею милостью, государь, — ответил он с радостной улыбкой. — Поистине щедра награда твоя!
III. Начались ежедневные посещения Теренцием государственного казначейства. Оно помещалось невдалеке от приемной залы императора, и первые переходы с монетами не стоили Теренцию никаких усилий.
В первый день вынес он из казначейства всего один брасс. Это небольшая монета, 21 мм в поперечнике и 5 г весом. Легки были также второй, третий, четвертый, пятый и шестой переходы, когда полководец выносил монеты двойного, тройного, 8-кратного, 16-кратного и 32-кратного веса. Седьмая монета весила на наши современные меры 320 граммов и имела в поперечнике 8 1/2 см (точнее, 84 мм).
На восьмой день Теренцию пришлось вынести из казначейства монету, соответствовавшую 128 единичным монетам. Она весила 640 г и была шириною около 10 1/2 см. На девятый день Теренций принес в императорскую залу монету в 256 единичных монет. Она имела 13 см в ширину и весила более 1 1/4 кг. На двенадцатый день монета достигла почти 27 см в поперечнике и весила 10 1/4 кг.
Император, до сих пор смотревший на полководца приветливо, теперь не скрывал своего торжества. Он видел, что сделано уже 12 переходов, а вынесено из казначейства всего только 2000 с небольшим медных монеток.
Тринадцатый день доставил храброму Теренцию монету, равную 4 096 единичным монетам. Он имела около 34 см в ширину, а вес ее равнялся 201/2 кг.
На четырнадцатый день Теренций вынес из казначейства тяжелую монету в 41 кг весом и около 42 см шириною.
— Не устал ли ты, мой храбрый Теренций? — спросил его император, сдерживая улыбку.
— Нет, государь мой, — хмуро ответил полководец, стирая пот со лба.
Наступил пятнадцатый день. Тяжела была на этот раз ноша Теренция. Медленно брел он к императору, неся огромную монету, составленную из 16 384 единичных монет. Она достигала 53 см в ширину и весила 80 кг — вес рослого воина. На шестнадцатый день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32 768 единичным монетам и весившая 164 кг, поперечник ее достигал 67 см. Полководец был обессилен и тяжело дышал. Император улыбался…
Когда Теренций явился в приемную залу императора на следующий день, он был встречен громким смехом. Он не мог уже нести свою ношу в руках, а катил ее впереди себя. Монета имела в поперечнике 84 см и весила 328 кг.Она соответствовала весу 65 536 единичных монет. Восемнадцатый дань был последним днем обогащения Теренция. В этот день кончились его посещения казначейства и странствования с ношей в залу императора. Ему пришлось доставить на этот раз монету, соответствовавшую 131 072 единичным монетам. Она имела более метра в поперечнике и весила 655 кг. Пользуясь своим копьем как рычагом, Теренций с величайшим напряжением сил едва вкатил ее в залу. С грохотом упала исполинская монета к ногам императора.
Теренций был совершенно измучен.
— Не могу больше… Довольно, — прошептал он.
Император с трудом подавил смех удо вольствия, видя полный успех своей хитрости. Он приказал казначею исчислить, сколько всего брассов вынес Теренций в приемную залу. Казначей исполнил поручение и сказал:
— Государь, благодаря твоей щедрости, победоносный воитель Теренций получил в награду 262 143 брасса.
Итак, скупой император дал полководцу около 20-й части той суммы в миллион динариев, которую просил Теренций. 
Проверим расчет казначея, а заодно и вес монет. Теренций вынес:
 в   1-й день     . . . .              1 брасс весом                    5 г
на   2       »    . . . .              2     »        »                 10 »
 »   3       »    . . . .              4     »        »                 20 »
 »   4       »    . . . .              8     »        »                 40 »
 »   5       »    . . . .             16     »        »                 80 »
 »   6       »    . . . .             32     »        »                160 »
 »   7       »    . . . .             64     »        »                320 »
 »   8       »    . . . .            128     »        »                640 »
 »   9       »    . . . .            256     »        »           1 кг 280 »
 » 10        »    . . . .            512     »        »           2 кг 560 »
 » 11        »    . . . .          1 024     »        »           5 кг 120 »
 » 12        »    . . . .          2 048     »        »          10 кг 240 »
 » 13        »    . . . .          4 096     »        »          20 кг 480 »
 » 14        »    . . . .          8 192     »        »          40 кг 960 »
 » 15        »    . . . .         16 384     »        »          81 кг 920 »
 » 16        »    . . . .         32 768     »        »         163 кг 840 »
 » 17        »    . . . .         65 536     »        »         327 кг 680 »
 » 18        »    . . . .        131 072     »        »         655 кг 360 »
Мы уже знаем, как можно просто подсчитать сумму чисел таких рядов: для второго столбца она равна 262 143. Теренций просил у императора миллион динариев, т. е. 5 000 000 брассов. Значит, он получил меньше просимой суммы в 5 000 000 : 262 143 = 19 раз.
(Перельман,Живая математика,1934:92,Задача 5)

Задача 5. Легенда о шахматной доске

I. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, — сказал царь.
Мудрец поклонился.
— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, — продолжал царь. — Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета молчал.
— Не робей, — ободрил его царь. — Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его. 
— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу. Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
— Повелитель, — сказал Сета, — прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
— Простое пшеничное зерно? — изумился царь.
— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую — 8, за пятую — 16, за шестую — 32…
— Довольно, — с раздражением прервал его царь. —Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе мешок с твоей пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
II. За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
— Повелитель, — был ответ, — приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
— Повелитель, — ответили ему, — математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
— Почему медлят с этим делом? — гневно воскликнул царь. — Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.
Царь приказал ввести его.
— Прежде чем скажешь о твоем деле, — объявил Шерам, — я желаю услышать, выдана ли наконец Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, — ответил старик. — Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…
— Как бы велико оно ни было, — надменно перебил царь, — житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана… 
— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.
С изумлением внимал царь словам старца.
— Назови же мне это чудовищное число, — сказал он в раздумье.
— Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!
III. Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, — но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом. Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64-ую клетку доски. Поступая, как объяснено на стр. 663, мы без труда найдем всю сумму следуемых зерен, если удвоим последнее число и отнимем одну единицу. Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 и т. д. 64 раза.
Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1024, а 4 двоек — 16. Значит, искомый результат равен 1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 16.
Перемножив 1024 × 1024, получим 1 048 576.
Теперь остается найти 1 048 576 × 1 048 576 × 1 048 576 × 16, отнять от результата одну единицу — и нам станет известно искомое число зерен:18 446 744 073 709 551 615.
Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в 12 000 000 000 000 м3, или 12 км3. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, — т. е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!..
Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.
В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее  10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно в полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей. Считая непрерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды…
(Перельман,Живая математика,1934:107,Задача 5)

Задача 6. Быстрое размножение

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит круглым числом 3000 зернышек. Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки! Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3000 × 3000 = 9 000 000 растений. Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать 9 000 000 × 3000 = 27 000 000 000. А на четвертый год 37 000 000 000 × 3000 = 81 000 000 000 000. На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81 000 000 000 000 × 3000 = 243 000 000 000 000 000, поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, — 135 000 000 000 000 м2 — примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака.
Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке! 
(Перельман,Живая математика,1934:113,Задача 6)

Задача 7. Бесплатный обед

I. Десять молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали раз меститься в алфавитном порядке, другие — по возрасту, третьи — по успеваемости, четвертые — по росту и т. д. Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:
— Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня.
Все сели как попало. Официант продолжал:
— Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете  опять по-новому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда — обещаю торжественно — я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.
Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами. Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется ни мало ни много — 3 628 800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 000 лет!
(Перельман,Живая математика,1934:121,Задача 7)

Задача 8. Перекладывание монет

В детстве старший брат показал мне, помню, занимательную игру с монетами. Поставив рядом три блюдца, он положил в крайнее блюдце стопку из 5 монет: вниз рублевую, на нее — полтинник1, выше — двугривенный, далее пятиалтынный и на самый верх — гривенник.
— Все 5 монет, — заявил он, — нужно перенести на третье блюдце, соблюдая следующие три правила. Первое правило: за один раз перекладывать только одну монету. Второе: никогда не класть большей монеты на меньшую. Третье: можно временно класть монеты и на среднюю тарелку, соблюдая оба правила, но к концу игры все  монеты должны очутиться на третьем блюдце в первоначальном порядке. Правила, как видишь, несложные. А теперь приступай к делу.
Я принялся перекладывать. Положил гривенник на третье блюдце, пятиалтынный на среднее и запнулся. Куда положить двугривенный? Ведь он крупнее и гривенника, и пятиалтынного.
— Ну что же? — выручил меня брат. — Клади гривенник на среднее блюдце, поверх пятиалтынного. Тогда для двугривенного освободится третье блюдце.
Я так и сделал. Но дальше — новое затруднение. Куда положить полтинник? Впрочем, я скоро догадался: перенес сначала гривенник на первое блюдце, пятиалтынный на третье и затем гривенник тоже на третье. Теперь полтинник можно положить на свободное среднее блюдце. Дальше, после длинного ряда перекладываний, мне удалось перенести также рублевую монету с первого блюдца и, наконец, собрать всю кучку монет на третьем блюдце.
— Сколько же ты проделал всех перекладываний? — спросил брат, одобрив мою работу.
— Не считал.
— Давай сосчитаем. Интересно же знать, каким наименьшим числом ходов можно достигнуть цели. Если бы стопка состояла не из 5, а только из 2 монет — пятиалтынного и гривенника, — то сколько понадобилось бы ходов?
— Три: гривенник на среднее блюдце, пятиалтынный — на третье и затем гривенник на третье блюдце.
— Правильно. Прибавим теперь еще монету — двугривенный — и сосчитаем, сколькими ходами можно перенести стопку из этих монет. Поступаем так: сначала последовательно переносим меньшие две монеты на среднее блюдце. Для этого нужно, как мы уже знаем, 3 хода. Затем перекладываем двугривенный на свободное третье блюдце — 1 ход. А тогда переносим обе монеты со среднего блюдца тоже на третье — еще 3 хода. Итого всех ходов 3 + 1 + 3 = 7.
— Для четырех монет число ходов позволь мне сосчитать самому. Сначала переношу 3 меньшие монеты на среднее блюдце — 7 ходов; потом полтинник на третье блюдце — 1 ход и затем снова три меньшие монеты на третье блюдце — еще 7 ходов. Итого 7 + 1 + 7 = 15.
— Отлично. А для пяти монет?
— 15 + 1 + 15 = 31, — сразу сообразил я.
— Ну вот ты и уловил способ вычисления. Но я покажу тебе, как можно его еще упростить. Заметь, что полученные нами числа 3, 7, 15, 31 — все представляют собой двойку, умноженную на себя один или несколько раз, но без единицы. Смотри.
И брат написал табличку:
3 = 2 × 2 –1
7 = 2 × 2 × 2 – 1
15 = 2 × 2 × 2 × 2 – 1
31 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 – 1.
— Понимаю: сколько монет перекладывается, столько раз берется двойка множителем, а затем отнимается единица. Я мог бы теперь вычислить число ходов для любой стопки монет. Например, для 7 монет:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 – 1 = 128 – 1 = 127.
— Вот ты и постиг эту старинную игру. Одно только практическое правило надо тебе еще знать: если в стопке число монет нечетное, то первую монету перекладывают на третье блюдце; если четное — то на среднее блюдце.
— Ты сказал: старинная игра. Разве не сам ты ее придумал?
— Нет, я только применил ее к монетам. Игра очень древнего происхождения и зародилась, говорят, в Индии. Существует интересная легенда, связанная с этой игрой. В городе Бенаресе будто бы имеется храм, в котором индусский бог Брама при сотворении мира установил три алмазных палочки и надел на одну из них 64 золотых кружка: самый большой внизу, а каждый следующий меньше предыдущего. Жрецы храма обязаны без устали днем и ночью перекладывать эти кружки с одной палочки на другую, пользуясь третьей как вспомогательной и соблюдая правила нашей игры: переносить за один раз только один кружок и не класть большего на меньший. Легенда говорит, что когда будут перенесены все 64 кружка, наступит конец мира.
— О, значит, мир давно уже должен был погибнуть, если верить этому преданию!
— Ты, по-видимому, думаешь, что перенесение 64 кружков не должно отнять много времени?
— Конечно. Делая каждую секунду один ход, можно ведь в час успеть проделать 3600 перенесений.
— Ну и что же?
— А в сутки — около ста тысяч. В десять дней — миллион ходов. Миллионом же ходов можно, я уверен, перенести хоть тысячу кружков.
— Ошибаешься. Чтобы перенести всего 64 кружка, нужно уже круглым счетом 500 миллиардов лет.
— Но почему это? Ведь число ходов равно только произведению 64 двоек без единицы, а это составляет…
— «Только» 18 квинтиллионов с лишком, если называть квинтиллионом миллион миллионов миллионов.
— Погоди, я сейчас перемножу и проверю.
— Прекрасно. А пока будешь умножать, я успею сходить по своим делам. И брат ушел, оставив меня погруженным в выкладки. Я нашел сначала произведение 16 двоек, затем умножил этот результат — 65 536 — сам на себя, а то, что получилось, — снова на себя. Потом не забыл отнять единицу. У меня получилась такое число:
18 446 744 073 709 551 615 
(Читателю уже знакомо это число: оно определяет награду, затребованную изобретателем шахматной игры.
Брат, значит, был прав…
Вам, вероятно, интересно было бы знать, какими числами в действительности определяется возраст мира. Ученые располагают на этот счет некоторыми, — конечно, лишь приблизительными — данными:
Солнце существует . . . . . . . .  10 000 000 000 000 лет 2
Земной шар . . . . . . . . . . . . 2 000 000 000   »  
Жизнь на Земле . . . . . . . . . . 300 000 000   »  
Человек . . . . . . . . . . . . . .300 000   » 
(Перельман,Живая математика,1934:127,Задача 8)

Задача 9. Пари

В столовой дома отдыха зашла за обедом речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал:
— Кидаю на стол монету, не глядя. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх?
— Объясните сначала, что значит «вероятность», — раздались голоса. — Не всем ясно.
— О, это очень просто! Монета может лечь на стол двояко: вот так — гербом вверх, и вот так — гербом вниз. Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай. Теперь находим отношение числа благоприятных случаев к числу возможных случаев как 1/2.
Дробь 1/2 и выражает «вероятность» того, что монета упадет гербом вверх.
— С монетой-то просто, — вмешался кто-то. — А вы рассмотрите случай посложней, с игральной костью, например.
— Давайте рассмотрим, — согласился математик. — У нас игральная кость, кубик с цифрами на гранях. Какова вероятность, что брошенный кубик упадет определенной цифрой вверх, скажем — вскроется шестеркой? Сколько здесь всех возможных случаев? Кубик может лечь на любую из своих шести граней; значит, возможно всего 6 случаев. Из них благоприятен нам только один: когда вверху шестерка. Итак, вероятность получится от деления 1 на 6. Короче сказать, она выражается дробью 1/6.
— Неужели можно вычислить вероятность во всех случаях? — спросила одна из отдыхающих. — Возьмите такой пример. Я загадала, что первый прохожий, которого мы увидим из окна столовой, будет мужчина. Какова вероятность, что я отгадала?
— Вероятность, очевидно, равна половине, если только мы условимся и годовалого мальчика считать за мужчину. Число мужчин на свете равно числу женщин.
— А какова вероятность, что первые двое прохожих окажутся оба мужчины? — спросил один из отдыхающих.
— Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь вообще возможны случаи. Во-первых, возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во-вторых, что сначала покажется мужчина, за ним женщина. В-третьих, наоборот: что раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба прохожих — женщины. Итак, число всех возможных случаев — 4. Из них благоприятен, очевидно, только один случай — первый. 
Получаем для вероятности дробь 1/4 . Вот ваша задача и решена.
— Понятно. Но можно поставить вопрос и о трех мужчинах: какова вероятность, что первые трое прохожих все окажутся мужчины?
— Что же, вычислим и это. Начнем опять с подсчета возможных случаев. Для двоих прохожих число всех случаев равно, мы уже знаем, четырем. 
С присоединением третьего прохожего число возможных случаев увеличивается вдвое, потому что к каждой из 4 перечисленных группировок двух прохожих может присоединиться либо мужчина, либо женщина. Итого всех случаев возможно здесь 4 × 2 = 8. А искомая вероятность, очевидно, равна 1/8, потому что благоприятен событию только 1 случай. Здесь легко подметить правило подсчета: в случае двух прохожих мы имели вероятность 1/2 × 1/2 = 1/4; в случае трех 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8; в случае четырех вероятность равна произведению четырех половинок и т. д. Вероятность все уменьшается, как видите.
— Чему же она равна, например, для десятка прохожих?
—  То есть какова вероятность, что первые десять прохожих все кряду окажутся мужчинами? Вычислим, как велико произведение десяти половинок. Это 1/1024 — менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь о заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что этого не произойдет.
— Выгодное пари! — заявил чей-то голос. — Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу.
— Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это.
— Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами.
— А вы представляете себе, как мала вероятность такого события? — спросил математик.
— Одна миллионная или что-нибудь в этом роде?
— Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь… Дайте-ка я прикину на бумажке… Триллионная… Квинтиллионная… Септиллионная… Ого! Нониллионная. Вероятность равна одной нониллионной.
— Нониллион? Это еще что за чудовище такое? Много больше миллиона?
— В миллиард миллиардов раз. Нониллион — единица с 30 нулями.
— Только всего?
— Вам мало 30 нулей? Вы знаете, что земной шар весит только 6 нониллионов килограммов? В океане нет и тысячной доли нониллиона мельчайших капелек.
— Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моей копейки?
— Ха-ха!.. Все! Все, что у меня есть.
— Все — это слишком много. Ставьте на кон ваш велосипед. Ведь не поставите?
— Почему же нет? Пожалуйста! Пусть велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую.
— И я не рискую. Невелика сумма копейка. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего.
— Да поймите же, что вы наверняка проиграете! Велосипед никогда вам не достанется, а копейка ваша, можно сказать, уже в моем кармане.
— Что вы делаете! — удерживал математика приятель. — Из-за копейки рискуете велосипедом. Безумие!
— Напротив, — ответил математик, — безумие ставить хотя бы одну копейку при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уже лучше прямо выбросить копейку.
— Но один-то шанс все же имеется?
— Одна капля в целом океане. В десяти океанах! Вот ваш шанс. А за меня десять океанов против одной капельки. Мой выигрыш так же верен, как дважды два — четыре.
— Увлекаетесь, молодой человек, — раздался спокойный голос старика, все время молча слушавшего спор. — Увлекаетесь…
— Как? И вы, профессор, рассуждаете по-обывательски?
— Подумали ли вы о том, что не все случаи здесь равновозможны? Расчет вероятности правилен лишь для каких событий? Для равновозможных, не так ли? А в рассматриваемом примере… Впрочем, — сказал старик, прислушиваясь, — сама действительность, кажется, сейчас разъяснит вам вашу ошибку. 
Слышна военная музыка, не правда ли?
— Причем тут музыка?.. — начал было молодой математик и осекся. 
На лице его выразился испуг. Он сорвался с места, бросился к окну и высунул голову.
— Так и есть!—донесся его унылый возглас. — Проиграно пари! Прощай мой велосипед…
Через минуту всем стало ясно, в чем дело. Мимо окон проходил батальон красноармейской пехоты.
(Перельман,Живая математика,1934:132,Задача 9)

Задача 10. Числовые великаны вокруг и внутри нас

Нет надобности приискивать исключительные положения, чтобы встретиться с числовыми великанами. Они присутствуют всюду вокруг и даже вну-три нас самих — надо лишь уметь рассмотреть их. Небо над головой, песок под ногами, воздух вокруг нас, кровь в нашем теле — все скрывает в себе невидимых великанов из мира чисел. Числовые исполины небесных пространств для большинства людей не являются неожиданными. Хорошо известно, что, зайдет ли речь о числе звезд Вселенной, об их расстояниях от нас и между собою, об их размерах, весе, возрасте — во всех случаях мы неизменно встречаемся с числами, подавляющими воображение своей огромностью. Недаром выражение «астрономическое число» сделалось крылатым. Многие, однако, не знают, что даже и те небесные тела, которые астрономы часто называют «маленькими», оказываются настоящими великанами, если применить к ним привычную земную мерку. Существуют в нашей солнечной системе планеты, которые ввиду их незначительных размеров получили у астрономов наименование «малых». Среди них имеются и такие, поперечник которых равен нескольким километрам. В глазах астронома, привыкшего к исполинским масштабам, они так малы, что, говоря о них, он пренебрежительно называет их «крошечными». Но они представляют собой «крошечные» тела только рядом с другими небесными светилами, еще более огромными: на обычную же человеческую мерку они далеко не миниатюрны. Поверхность самого мелкого из них могла бы вместить все население нашего Союза. Возьмем «крошечную» планету с диаметром 3 км: такая планета недавно открыта. По правилам геометрии легко рассчитать, что поверхность такого тела заключает 28 км2, или 28 000 000 м2. На 1 м2 может поместиться стоя человек 6. Как видите, на 28 миллионах квадратных метров найдется место для 168 миллионов человек, т. е. для населения всего СССР.
Песок, попираемый нами, также вводит нас в мир числовых исполинов. Каждая горсть мелкого песку заключает в себе не меньше отдельных песчинок, чем жителей в целом Союзе. Недаром сложилось издавна выражение: «бесчисленны, как песок морской». Впрочем, древние недооценивали многочисленность песка, считая ее одинаковой с многочисленностью звезд. В старину не было телескопов, а простым глазом мы видим на небе всего около 3500 звезд (в одном полушарии). Песок на морском берегу в миллионы раз многочисленнее, чем звезды, доступные невооруженному зрению.
Величайший числовой гигант скрывается в том воздухе, которым мы дышим. Каждый кубический сантиметр воздуха, каждый наперсток заключает в себе 27 квинтиллионов (т. е. 27 с 18 нулями) мельчайших частиц, называемых «молекулами». Невозможно даже представить себе, как велико это число. Если бы на свете было столько людей, для них буквально недостало бы места на нашей планете. В самом деле: поверхность земного шара, считая все его материки и океаны, равна 500 миллионам км2. Раздробив в квадратные метры, получим 500 000 000 000 000 м2. Поделим 27 квинтиллионов на это число, и мы получим 54 000. Это означает, что на каждый квадратный метр земной поверхности приходилось бы более 50 тысяч человек! А знаете, какой объем занимало бы все это население? Так как человеческое тело в среднем вытесняет около 50 литров, т. е. занимает в объеме 1/20 м3, то 27 квинтиллионов человек заняли бы объем не менее 1350 миллионов км3.
Сравним его с объемом всех океанов. Поверхность мирового океана равна 375 миллионам, средняя глубина — 4 км, поэтому объем океанских вод составляет 375 000 000 × 4 = 1400 миллионов км3, т. е. такой же примерно, как и объем 27 квинтиллионов человеческих тел. Значит, такое население могло бы доверху заполнить впадины всех океанов и морей земного шара. Между тем, объем тех 2000 миллионов (2 миллиардов) людей, которые действительно живут сейчас на земном шаре, так скромен, что если бы все человечество потонуло, например, в Ладожском озере, вода в нем поднялась бы… только на полсантиметра! Никто и не заметил бы такого ничтожного подъема уровня озера, а ведь на дне его скрывалось бы население всей нашей планеты.
Было упомянуто раньше, что числовые великаны скрываются и внутри человеческого тела. Покажем это на примере нашей крови. Если каплю ее рассмотреть под микроскопом, то окажется, что в ней плавает огромное множество чрезвычайно мелких телец красного цвета, которые и придают крови ее окраску. Каждое такое «красное кровяное тельце» имеет форму крошечной круглой подушечки, посредине вдавленной. Все они у человека примерно одинаковых размеров и имеют в поперечнике около 0,007 мм, а толщину — 0,002 мм. Зато число их огромно. В крошечной капельке крови объемом 1 кубический миллиметр их заключается 5 миллионов. Сколько же их всего в нашем теле? 
В теле человека примерно в 14 раз меньше литров крови, чем килограммов в его весе. Если вы весите 40 кг, то крови в вашем теле около 3 литров, или 3000 000 мм3. Так как каждый кубический миллиметр заключает 5 миллионов красных телец, то общее число их в вашей крови: 5 000 000 × 3 000 000 = 15 000 000 000 000. Это кажется невероятным; нелишним будет подтвердить сказанное расчетом. Поверхность Ладожского озера равна 18 000 км2. Объем 2000 миллионов человеческих тел занимает 100 миллионов м3, или 0,1 км3. Разделив 0,1 на 18 000, получаем 1/180000 км или 10/18 см, т. е. около полусантиметра. 15 миллионов миллионов кровяных телец! Какую длину займет эта армия кружочков, если выложить ее в ряд, один к другому? Нетрудно рассчитать, что длина такого ряда была бы 107 000 км. Более чем на сто тысяч километров растянулась бы нить из красных телец вашей крови. Ею можно было бы обмотать земной шар по экватору: 100 000 : 40 000 = 2,5 раза, а нитью из кровяных шариков взрослого человека — три раза.
Объясним, какое значение для нашего организма имеет такое измельчение кровяных телец. Назначение этих телец — разносить кислород по всему телу. Они захватывают кислород, когда кровь проходит через легкие, и вновь выделяют его, когда кровяной поток заносит их в ткани нашего тела, в его самые удаленные от легких уголки. Сильное измельчение этих телец способствует выполнению ими этого назначения, потому что чем они мельче при огромной численности, тем больше их поверхность, а кровяное тельце может поглощать и выделять кислород только со своей поверхности. Расчет показывает, что общая поверхность их во много раз превосходит поверхность человеческого тела и равна 1200 м2. Такую площадь имеет большой огород в 40 м длины и 30 м ширины. Теперь вы понимаете, до какой степени важно для жизни организма то, что кровяные тельца сильно раздроблены и так многочисленны: они могут захватывать и выделять кислород на поверхности, которая в тысячу раз больше поверхности нашего тела.
Числовым великаном по справедливости следует назвать и тот внушительный итог, который получился бы, если бы вы подсчитали, сколько всякого рода пищи пропускает человек через свое тело за 70 лет средней жизни. Целый железнодорожный поезд понадобился бы для перевозки тех тонн воды, хлеба, мяса, дичи, рыбы, картофеля и других овощей, тысяч яиц, тысяч литров молока и т. д., которые человек успевает поглотить в течение своей жизни. Рис. дает наглядное представление об этом неожиданно большом итоге, более чем в тысячу раз превышающем по весу человеческое тело. При виде его не веришь, что человек может справиться с таким исполином, буквально проглатывая — правда, не разом — груз длинного товарного поезда.
 (Перельман,Живая математика,1934:135,Задача 10)

Глава XII

ТРИДЦАТЬ РАЗНЫХ ЗАДАЧ

Задача 78. Цепь

Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом обрывке, и заказали соединить их в одну цепь. Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать, сколько колец понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что придется раскрыть и снова заковать четыре кольца. Нельзя ли, однако, выполнить работу, раскрыв и заковав меньше колец?
(Перельман,Живая математика,1934:181,Задача 78)

Задача 79. Пауки и жуки

Пионер собрал в коробку пауков и жуков — всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги. Сколько же в коробке пауков и сколько жуков?
(Перельман,Живая математика,1934:182,Задача 79)

Задача 80. Плащ, шляпа и галоши

Некто купил плащ, шляпу и галоши и заплатил за все 140 руб. Плащ стоит на 90 руб. больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе на 120 руб. больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности. Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.
(Перельман,Живая математика,1934:182,Задача 80)

Задача 81. Куриные и утиные яйца

Корзины на рис. 136 содержат яйца; в одних корзинах куриные яйца, в других — утиные. Число их обозначено на каждой корзине. «Если я продам вот эту корзину, — размышляет продавец, — то у меня останется куриных яиц ровно вдвое больше, чем утиных». Какую корзину имел в виду продавец?
(Перельман,Живая математика,1934:182,Задача 81)

Задача 82. Перелет

Самолет покрывает расстояние от города А до города В в 1 ч. 20 мин. Однако обратный перелет он совершает в 80 мин. Как вы это объясните?
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 82)

Задача 83. Денежные подарки

Двое отцов подарили сыновьям деньги. Один дал своему сыну 150 руб., другой своему — 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить?
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 83)

Задача 84. Две шашки

На пустую шашечную доску надо поместить две белые шашки. Сколько различных положений могут они занимать на доске?
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 84)

Задача 85. Двумя цифрами

Какое наименьшее целое число можете вы написать двумя цифрами?
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 85)

Задача 86. Единица

Выразите 1, употребив все десять цифр.
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 86)

Задача 87. Пятью девятками

Выразите 10 пятью девятками. Укажите, по крайней мере, два способа.
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 87)

Задача 88. Десятью цифрами

Выразите 100, употребив все десять цифр. Сколькими способами можете вы это сделать? Существует не меньше четырех способов.
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 88)

Задача 89. Четырьмя способами

Четырьмя различными способами выразите 100 пятью одинаковыми цифрами.
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 89)

Задача 90. Четырьмя единицами

Какое самое большое число можете вы написать четырьмя единицами?
(Перельман,Живая математика,1934:183,Задача 90)

Задача 91. Загадочное деление

В следующем примере деления все цифры заменены звездочками, кроме четырех четверок. Поставьте вместо звездочек те цифры, которые были заменены.
* * * * * * 4   * * *
 * * *              * 4 * *
 * * 4 *
 * * * *
   * * * *
       * 4 *
    * * * *
    * * * *
Задача эта имеет несколько различных решений.
(Перельман,Живая математика,1934:184,Задача 91)

Задача 92. Еще случай деления

Сделайте то же с другим примером, в котором уцелело только семь семерок:
* * 7 * * *  * * * *   * * * * 7 *
* * * * * *              * * 7 *  *
* * * * * 7 *
* * * * * * *
    * 7 * * * *
    * 7 * * * *
    * * * * * * *
    * * * * 7 * *
          * * * * * *
          * * * * * *
(Перельман,Живая математика,1934:184,Задача 92)

Задача 93. Что получится?

Сообразите в уме, на какую длину вытянется полоска, составленная из всех миллиметровых квадратиков одного квадратного метра, приложенных друг к другу вплотную.
(Перельман,Живая математика,1934:184,Задача 93)

Задача 94. В том же роде

Сообразите в уме, на сколько километров возвышался бы столб, составленный из всех миллиметровых кубиков одного кубометра, положенных один на другой.
(Перельман,Живая математика,1934:185,Задача 94)

Задача 95. Аэроплан

Аэроплан шириною 12 м был сфотографирован во время полета снизу, когда он пролетал отвесно над аппаратом. Глубина камеры 12 см. На снимке ширина аэроплана равна 8 мм. На какой высоте летал аэроплан в момент фотографирования?
(Перельман,Живая математика,1934:185,Задача 95)

Задача 96. Миллион изделий

Изделие весит 89,4 г. Сообразите в уме, сколько тонн весит миллион таких изделий.
(Перельман,Живая математика,1934:185,Задача 96)

Задача 97. Число путей

На рис. 137 вы видите лесную дачу, разделенную просеками на квадратные кварталы. Пунктирной линией обозначен путь по просекам от точки А до точки В. Это, конечно, не единственный путь между указанными точками по просекам. Сколько можете вы насчитать различных путей одинаковой длины?
(Перельман,Живая математика,1934:185,Задача 97)

Задача 98. Циферблат

Циферблат надо разрезать на 6 частей любой формы, — так, однако, чтобы сумма чисел, имеющихся на каждом участке, была одна и та же. Задача имеет целью испытать не столько вашу находчивость, сколько быстроту соображения.
(Перельман,Живая математика,1934:185,Задача 98)

Задача 99. Восьмиконечная звезда

Числа от 1 до 16 надо расставить в точках пересечения линий фигуры, изображенной на рис. 139, так, чтобы сумма чисел на стороне каждого квадрата была 34 и сумма их на вершинах каждого квадрата также составляла 34.
(Перельман,Живая математика,1934:186,Задача 99)

Задача 100. Числовое колесо

Цифры от 1 до 9 надо разместить в фигуре так, чтобы одна цифра была в центре круга, прочие — у концов каждого диаметра, и чтобы сумма трех цифр каждого ряда составляла 15.
(Перельман,Живая математика,1934:186,Задача 100)

Задача 101. Трехногий стол

Существует мнение, что стол о трех ногах никогда не качается, даже если ножки его и неравной длины. Верно ли это?
(Перельман,Живая математика,1934:186,Задача 101)

Задача 102. Какие углы?

Какие углы составляют между собой стрелки часов на рис. 141? Ответ надо дать по соображению, не пользуясь транспортиром.
(Перельман,Живая математика,1934:187,Задача 101)

Задача 103. По экватору

Если бы мы могли обойти земной шар по экватору, то макушка нашей головы описала бы более длинный путь, чем каждая точка наших ступней. Как велика эта разница?
(Перельман,Живая математика,1934:187,Задача 103)

Задача 104. В шесть рядов

Вам известен, вероятно, шуточный рассказ о том, как девять лошадей расставлены были по десяти стойлам и в каждом стойле оказалась одна лошадь. Задача, которая сейчас будет предложена, по внешности сходна с этой знаменитой шуткой, но имеет не воображаемое, а вполне реальное решение. Она состоит в следующем:
Расставить 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.
(Перельман,Живая математика,1934:187,Задача 104)

Задача 105. Крест и полумесяц

Фигура полумесяца составлена двумя дугами окружностей. Требуется начертить знак Красного креста, площадь которого геометрически точно равнялась бы площади полумесяца.
(Перельман,Живая математика,1934:187,Задача 105)

Задача 106. Задача Бенедиктова

Многие любители русской литературы не подозревают, что поэт В. Г. Бенедиктов является автором первого на русском языке сборника математических головоломок. Сборник этот не был издан; он остался в виде рукописи и был разыскан лишь в 1924 г. Я имел возможность ознакомиться с этой рукописью и даже установил на основании одной из головоломок год, когда она была составлена: 1869 (на рукописи год не обозначен). Предлагаемая далее задача, обработанная поэтом в беллетристической форме, заимствована мною из этого сборника. Она озаглавлена «Хитрое разрешение мудреной задачи».
«Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя к продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трех дочерей своих и, вверив старшей и самой смышленой из них десяток, поручила другой три десятка, а третьей полсотни. 
При этом она сказала им:
— Условьтесь наперед между собой насчет цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайте; все вы крепко держитесь одной и той же цены; но я надеюсь, что старшая дочь моя по своей смышлености даже и при общем между вами условии, по какой цене продавать, сумеет выручить столько за свой десяток, сколько вторая выручит за три десятка, да научит и вторую сестру выручить за ее три десятка столько же, сколько младшая за полсотни. 
Пусть выручки всех троих да цены будут одинаковы. Притом я желала бы, чтобы вы продали все яйца так, чтобы пришлось круглым счетом не меньше 10 коп. за десяток, а за все 9 десятков — не меньше 90 коп., или 30 алтын». 
На этом я прерываю пока рассказ Бенедиктова, чтобы предоставить читателям самостоятельно догадаться, как выполнили девушки данное им поручение.
(Перельман,Живая математика,1934:188,Задача 106)