1924

Перельман Я.И. Для юных математиков. Вторая сотня головоломок. — Л.: Начатки знаний, 1924.— 109 с.

ЗАДАЧИ ИЗ «ПУТЕШЕСТВИЙ ГУЛЛИВЕРА»

ЗАДАЧА 1.Паек и обед Гулливера.

Лилипуты, — читаем мы в «Путешествиях», — установили для Гулливера следующую норму отпуска пищевых продуктов: «Ему будет ежедневно выдаваться паек съестных припасов и напитков, достаточный для прокормления 1724 подданных страны лилипутов». «Триста поваров, — рассказывает Гулливер в другом месте, — готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживало с пола: одни подавали кушанье, остальные приносили бочонки с вином и другими напитками на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревок и блоков». Не объясните ли вы, из какого расчета получили лилипуты такой огромный паек? И зачем понадобился столь многочисленный штат прислуги для прокормления одного человека? Ведь он всего лишь в дюжину раз выше ростом, нежели лилипуты. Соразмерны ли подобный паек и аппетит с относительной величиной Гулливера и лилипутов?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:6,Задача 1)

ЗАДАЧА 2.Бочка и ведро лилипутов.

«Наевшись, — рассказывает далее Гулливер о своем пребывании в стране лилипутов, — я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку. Я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, — но больше у них не было». В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были «не больше нашего большого наперстка». Такие крошечные бочки и ведра могли ли быть в стране, где все предметы меньше нормальных только в 12 раз?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:6,Задача 2)

ЗАДАЧА 3.Животные страны лилипутов.

«Пятьсот самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу», — рассказывает Гулливер о стране лилипутов. Не кажется ли вам, что 500 лошадей — чересчур много для этой цели, даже принимая во внимание относительные размеры Гулливера и лилипутских лошадей?
О коровах, быках и овцах лилипутов Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь, — что, уезжая, он попросту «посадил их в свой карман». Возможно ли это?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:8,Задача 3)

ЗАДАЧА 4.Жесткая постель.

О том, как лилипуты приготовили ложе своему гостю-великану, читаем в «Путешествии Гулливера» следующее: «Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из полутораста тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, — но даже и на этой постели мне было так же жестко спать, как на каменном полу». Почему же Гулливеру было на этой постели так жестко? И правилен ли весь приведенный здесь расчет?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:8,Задача 4)

ЗАДАЧА 5.Триста портных.

«Ко мне было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить мне полную пару платья по местным образцам». Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм на человека, ростом всего в дюжину раз больше лилипутского?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:9,Задача 5)

ЗАДАЧА 6.Лодка Гулливера.

Гулливер покинул страну лилипутов на лодке, которую случайно прибило к берегам. Лодка эта казалась лилипутам чудовищным кораблем, далеко превосходящим размеры самых крупных судов их флота. Не можете ли вы рассчитать приблизительно, сколько лилипутских тонн водоизмещения﹡ имела эта лодка, если исходить из того, что она могла поднять груз в 20 пудов?
﹡Водоизмещение корабля равно наибольшему грузу, какое он может поднять (включая и вес самого судна). Тонна — около 60 пудов.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:9,Задача 6)

ЗАДАЧА 7.Исполинские яблоки и орехи.

«Один раз, — читаем мы в «Путешествиях Гулливера» к бробдингнегам (великанам), — с нами отправился в сад придворный карлик. Улучив удобный момент, когда я, прохаживаясь, очутился под одним из деревьев, он ухватился за ветку и встряхнул ее над моей головой. Град яблок, величиной каждое с хороший бочонок, шумно посыпался на землю; одно ударило меня в спину и сбило с ног…» В другой раз — «какой-то каверзный школьник запустил орехом прямо мне в голову и едва не попал, — а брошен был орех с такою силой, что неминуемо размозжил бы мне череп, так как был немногим меньше нашей небольшой тыквы».
Сколько примерно могли, по вашему мнению, весить яблоко и орех страны великанов? 
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:10,Задача 7)

ЗАДАЧА 8.Кольцо великанов.

В числе предметов, вывезенных Гулливером из страны великанов, было, говорит он, — «золотое кольцо, которое королева сама мне подарила, милостиво сняв его со своего мизинца и накинув мне через голову на шею как ожерелье». Возможно ли, чтобы колечко с мизинца хотя бы и великанши годилось Гулливеру как ожерелье? И сколько примерно должно было такое кольцо весить?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:10,Задача 8)

ЗАДАЧА 9.Книги великанов.

О книгах в стране великанов Гулливер сообщает такие подробности: «Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, — но для того, чтобы я мог их читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр сделал для меня деревянную лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов1 в вышину, а длина каждой ступеньки достигала 50-ти футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу устанавливали футах в 10 от стены, повернув к ней ступеньками, а на пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене. Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с верхней строки, переходя слева направо и обратно шагов на 8 или на 10, смотря по длине строк. 
По мере того как чтение подвигалось вперед и строки приходились все ниже и ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку, на третью и т. д. 
Дочитав до конца страницы, я снова поднимался вверх и начинал новую страницу таким же манером. Листы я переворачивал обеими руками, что было нетрудно, так как бумага, на которой у них печатают книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты имеют не более 18–20 футов в длину». Соразмерно ли все это?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:12,Задача 9)

ЗАДАЧА 10.Воротники великанов.

В заключение остановимся на задаче этого рода, но заимствованной непосредственно из описания Гулливеровых приключений. Вам, быть может, не было известно, что номер воротничка есть не что иное, как число сантиметров в его окружности. Если окружность вашей шеи 36 сантиметров, то вам подойдет воротник только № 36; воротник номером меньше будет тесен, а номером больше - просторен. Окружность шеи взрослого человека в среднем около 40 сантиметров.
Если бы Гулливер желал в Лондоне заказать партию воротников для обитателей страны великанов, то какой № он должен был бы заказать?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:12,Задача 10)

ЗАДАЧИ СО СПИЧКАМИ

ЗАДАЧА 11.Из шести три.

Перед вами фигура, составленная из 17 спичек. В ней 6 одинаковых квадратов. Задача состоит в том, чтобы убрать 5 спичек, не перекладывая остальных, — и осталось бы всего 3 квадрата.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:20,Задача 11)

ЗАДАЧА 12.Оставить пять квадратов.

В решетке из спичек, представленной на рис. 102-м, нужно так убрать 4 спички, — не трогая остальных, — чтобы осталось пять квадратов.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:20,Задача 12)

ЗАДАЧА 13.Оставить четыре квадрата.

Из той же фигуры так выньте 8 спичек, — не трогая других, — чтобы оставшиеся спички составляли 4 одинаковых квадрата.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:20,Задача 13)

ЗАДАЧА 14.Оставить три квадрата.

В той же решетке так уберите 6 спичек, — не перекладывая остальных, — чтобы осталось всего 3 квадрата.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:21,Задача 14)

ЗАДАЧА 15.Оставить два квадрата.

И наконец, в той же фигуре так уберите 8 спичек, — не трогая остальных, — чтобы осталось всего лишь два квадрата.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:21,Задача 15)

ЗАДАЧА 16.Шесть четырехугольников.

В фигуре нужно так переложить 6 спичек с одного места на другое, чтобы образовалась фигура, составленная из 6 одинаковых четырехугольников.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:21,Задача 16)

ЗАДАЧА 17.Из дюжины спичек.

Из 12 спичек нужно составить фигуру, в которой было бы:три одинаковых четырехугольника и два одинаковых треугольника. Как это сделать?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:21,Задача 17)

ЗАДАЧА 18.Из полутора дюжин.

Из 18 спичек нужно сложить два четырехугольника так, чтобы площадь одного была втрое больше площади другого. Спичек, как и во всех предыдущих задачах, переламывать нельзя. Оба четырехугольника должны лежать обособленно, не примыкая друг к другу.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:22,Задача 18)

ЗАДАЧА 19.Два пятиугольника.

Если вам удалось решить предыдущую задачу, попытайте силы на такой головоломке:
Из 18 спичек сложить два пятиугольника так, чтобы площадь одного была ровно втрое больше площади другого. Прочие условия те же, что и в предыдущей задаче.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:22,Задача 19)

ЗАДАЧА 20.Из 19 и из 12.

На чертеже вы видите, как можно 19-ю целыми спичками ограничить шесть одинаковых участков. А можно ли ограничить шесть одинаковых участков — хотя бы и иной формы — 12-ю целыми спичками?
 (Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:22,Задача 20)

ВЕС И ВЗВЕШИВАНИЕ

ЗАДАЧА 21.Вес бревна.

Круглое бревно весит тридцать килограммов. Сколько весило бы оно, если бы было вдвое толще, но вдвое короче?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:26,Задача 21)

ЗАДАЧА 22.Десятичные весы.

Сто килограммов железных гвоздей уравновешены на десятичных весах железными гирями. Весы затопило водой. Сохранили ли они равновесие и под водой?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:26,Задача 22)

ЗАДАЧА 23.Вес бутылки.

Бутылка, наполненная керосином, весит 1000 граммов. Та же бутылка, наполненная кислотой, весит 1600 граммов. Кислота вдвое тяжелее керосина. Сколько весит бутылка?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:26,Задача 23)

ЗАДАЧА 24.Брусок мыла.

На одной чашке весов лежит брусок мыла, на другой — 3/4 такого же бруска и еще 3/4 килограмма. Весы в равновесии. Сколько весит целый брусок мыла? Постарайтесь решить эту несложную задачу устно, без карандаша и бумаги.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:27,Задача 24)

ЗАДАЧА 25.Кошки и котята.

Из прилагаемого рисунка вы усматриваете, что
4 кошки и 3 котенка весят 15 килограммов, а
3 кошки и 4 котенка весят 13 килограммов.
Сколько же весит каждая кошка и каждый котенок в отдельности? Постарайтесь и эту задачу решить устно.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:27,Задача 25)

ЗАДАЧА 26.Раковина и бусины.

Рисунок 118-й показывает вам, что 3 детских кубика и 1 раковина уравновешиваются 12-ю бусинами и что, далее, 1 раковина уравновешивается 1 кубиком и 8-ю бусинами.
Сколько же бусин нужно положить на свободную чашку весов, чтобы уравновесить раковину на другой чашке?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:28,Задача 26)

ЗАДАЧА 27.Вес фруктов.

Вот еще задача в том же роде. Рисунок 119-й показывает, что 3 яблочка и 1 груша весят столько, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблочко весят столько, сколько 1 груша.
Сколько же персиков надо взять, чтобы уравновесить одну грушу?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:30,Задача 27)

ЗАДАЧА 28.Сколько стаканов?

На рисунках вы видите, что бутылка и стакан уравновешиваются кувшином; бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем; два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами.
Сколько надо поставить стаканов на свободную чашку весов, чтобы уравновесить бутылку?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:31,Задача 28)

ЗАДАЧА 29.Гирей и молотком.

Надо развесить 2 килограмма сахарного песку на 200-граммовые пакеты. Имеется только одна 500-граммовая гиря да еще молоток, весящий 900 граммов.
Как получить все 10 пакетов, пользуясь этой гирей и молотком?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:33,Задача 29)

ЗАДАЧА 30.Задача Архимеда.

Самая древняя из головоломок, относящихся к взвешиванию, — без сомнения, та, которую древний правитель сиракузский Гиерон задал знаменитому математику Архимеду. Предание повествует, что Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. 
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:33,Задача 30)

ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ

ЗАДАЧА 31.Пруд.

Имеется квадратный пруд. По углам его, близ самой воды, растет 4 старых развесистых дуба. Пруд понадобилось расширить, сделать вдвое больше по площади, сохраняя квадратную форму. Но вековых дубов трогать не желают. Можно ли расширить пруд до требуемых размеров так, чтобы все 4 дуба, оставаясь на своих местах, не были затоплены водой, а стояли бы у берегов нового пруда?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:39,Задача 31)

ЗАДАЧА 32.Паркетчик.

Паркетчик, вырезая квадраты из дерева, проверял их так: он сравнивал длины их сторон, и если все четыре стороны были равны, то считал квадрат вырезанным правильно.
Надежна ли такая проверка?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:39,Задача 32)

ЗАДАЧА 33.Другой паркетчик.

Другой паркетчик проверял свою работу иначе. Он мерил не стороны, а диагонали (т. е. те косые линии, которые, перекрещиваясь, соединяют углы). Если обе диагонали оказывались равными, паркетчик считал квадрат вырезанным правильно.
Вы тоже так думаете?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:40,Задача 33)

ЗАДАЧА 34.Третий паркетчик.

Третий паркетчик при проверке квадратов убеждался в том, что все 4 части, на которые диагонали разделяют друг друга, равны между собой. По его мнению, это доказывало, что вырезанный четырехугольник есть квадрат.
А по-вашему?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:40,Задача 34)

ЗАДАЧА 35.Белошвейка.

Белошвейке нужно отрезать кусок полотна в форме квадрата. Отрезав, она проверяет свою работу тем, что перегибает четырехугольный кусок по диагонали и смотрит, совпадают ли края. Если совпадают, значит — решает она — отрезанный кусок имеет в точности квадратную форму.
Так ли?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:40,Задача 35)

ЗАДАЧА 36.Еще белошвейка.

Другая белошвейка не довольствовалась проверкой своей подруги. Она перегибала отрезанный четырехугольник сначала по одной диагонали, затем, расправив полотно, перегибала по другой. И только если края фигуры совпадали в обоих случаях, она считала квадрат вырезанным правильно. Что скажете вы о такой проверке?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:41,Задача 36)

ЗАДАЧА 37.Затруднение столяра.

У молодого столяра имеется пятиугольная доска, изображенная на рисунке. Вы видите, что она как бы составлена из квадрата и приложенного к нему треугольника, который вчетверо меньше этого квадрата. Столяру нужно — ничего не убавляя от доски и ничего к ней не прибавляя, — превратить ее в квадратную. Для этого необходимо, конечно, распилить ее раньше на части. Наш молодой столяр так и намерен сделать, но он желает разделить доску не более чем по двум прямым линиям. Возможно ли двумя прямыми линиями разрезать нашу фигуру на такие части, из которых составлялся бы квадрат? И если возможно, то как это сделать?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:41,Задача 37)

ЗАДАЧА 38.Все человечество внутри квадрата.

В настоящее время (1924 г.) на всем земном шаре насчитывается 1800 миллионов человек: 1 800 000 000. Представьте, что все люди, живущие на свете, собрались сплошной толпой на одном ровном месте. Вы желаете поместить их на квадратном участке, отводя по квадратному метру на каждые двадцать человек (плотно прижавшись друг к другу, 20 человек могут на таком квадрате поместиться). Попробуйте, не вычисляя, оценить на глаз, каких приблизительно размеров квадрат понадобился бы для этого. Достаточно ли будет, например, отвести квадрат со стороною 100 километров?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:42,Задача 38)

ЗАДАЧА 39.Сомнительные квадраты.

Учитель черчения задал школьнику работу: начертить два равных квадрата и заштриховать их. Школьник выполнил работу так, как показано на рисунке. Он был уверен, что это квадраты, и притом равные. Почему он так думал?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:42,Задача 39)

ЗАДАЧА 40.Темные пятна.

Другой школьник должен был начертить несколько рядов черных квадратов, разделенных белыми полосками. Вот как он выполнил эту работу. Вы видите, однако, что близ углов квадратов, в том месте, где пересекаются белые полоски, имеются темноватые пятна. Школьник уверял, что он их не делал. Откуда же они взялись?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:43,Задача 40)

ЗАДАЧИ О ЧАСАХ

ЗАДАЧА 41.Когда стрелки встречаются?

В 12 часов одна стрелка покрывает другую. Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз. Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:49,Задача 41)

ЗАДАЧА 42.Когда стрелки направлены врозь?

В 6 часов, наоборот, обе стрелки направлены в противоположные стороны. Но только ли в 6 часов это бывает или же есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:49,Задача 42)

ЗАДАЧА 43.В котором часу?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько же, на сколько часовая находится впереди числа XII на циферблате? А может быть, таких моментов бывает в день несколько? Или же вовсе не бывает?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:49,Задача 43)

ЗАДАЧА 44.Наоборот.

Если вы внимательно наблюдаете за часами, то, быть может, вам случалось наблюдать и как раз обратное расположение стрелок, чем сейчас описано: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа XII. Когда же это бывает?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:50,Задача 44)

ЗАДАЧА 45.По обе стороны шести.

Я взглянул на часы и заметил, что обе стрелки отстоят от цифры VI по обе ее стороны одинаково. В котором часу это было?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:51,Задача 45)

ЗАДАЧА 46.Три и семь.

Часы бьют три, и, пока они бьют, проходят три секунды. Сколько же времени должны употребить часы, чтобы пробить семь? На всякий случай предупреждаю, что это — не задача-шутка и никакой ловушки не скрывает.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:51,Задача 46)

ЗАДАЧА 47.Часы-компас.

Теперь за границей не редкость карманные часы, циферблат которых разделен не на 12, а на 24 части, с обозначением от I до XXIV часов. Часовая стрелка таких часов описывает полный круг не в 12, а в 24 часа. Такими часами можно в ясные дни пользоваться взамен компаса. Как?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:51,Задача 47)

ЗАДАЧА 48.О том же.

А нельзя ли, за неимением компаса, воспользоваться и нашими обыкновенными карманными часами, чтобы в ясный день определить по ним, хотя бы приблизительно, страны света?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:52,Задача 48)

ЗАДАЧА 49.Цифра шесть.

Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно обладает он карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе:
— А по скольку раз в день взглядываете вы на свои часы?
— Раз двадцать, вероятно, или около того, — последует ответ.
— Значит, в течение года вы смотрите на свои часы не менее 6000 раз, а за 15 лет видели их циферблат 6000 × 15, т. е. чуть не сто тысяч раз. Вещь, которую вы видели сто тысяч раз, вы, конечно, должны знать и помнить отлично.
— Ну разумеется!
— Вам поэтому прекрасно должен быть известен циферблат ваших карманных часов, и вы не затруднитесь изобразить на память, как обозначена на нем цифра шесть.
И вы предлагаете собеседнику бумажку и карандаш. Он исполняет вашу просьбу, — но… изображает цифру шесть в большинстве случаев совсем не такою, какою обозначена она на его часах.
Почему? Ответьте на этот вопрос, не взглядывая на ваши карманные часы.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:52,Задача 49)

ЗАДАЧА 50.Тиканье часов.

Положите свои карманные часы на стол, отойдите шага на три или на четыре и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что часы ваши идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают идти и т. д. Чем объясняется такой неравномерный ход?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:53,Задача 50)

НЕОЖИДАННЫЕ ПОДСЧЕТЫ

ЗАДАЧА 51.Стакан гороху.

Вы много раз держали в руках горошину и не менее часто имели дело со стаканом. Размеры того и другого вам должны быть поэтому хорошо знакомы. Представьте же себе теперь стакан, доверху наполненный горохом, и вообразите, что все эти горошины выставлены в один ряд, вплотную одна  к другой. Как вы думаете — был ли бы этот ряд длиннее обеденного стола или короче?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:62,Задача 51)

ЗАДАЧА 52.Листья дерева.

Если бы сорвать с какого-нибудь старого дерева — например, с липы — все листья и положить их рядом, без промежутков, то какой приблизительно длины был бы этот ряд? Можно ли было бы, например, окружить им большой дом?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:62,Задача 52)

ЗАДАЧА 53.Миллион шагов.

Вы, конечно, очень хорошо знаете, что такое миллион, и столь же хорошо представляете себе длину своего шага. А раз вы знаете то и другое, то вам нетрудно будет ответить на вопрос: как далеко отошли бы вы, сделав миллион шагов? Больше чем на 10 километров или меньше?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:62,Задача 53)

ЗАДАЧА 54.Квадратный метр.

Я знал школьника, который, услышав впервые, что в квадратном метре миллион квадратных миллиметров, не хотел этому верить. Никакие разъяснения не были для него убедительны. «Откуда их берется так много? — недоумевал он. — Вот у меня лист миллиметровой бумаги длиною и шириною ровно в метр. Неужели же в этом квадрате целый миллион миллиметровых клеточек? Ни за что не поверю».
— А ты пересчитай, — посоветовали ему.
— И пересчитаю! В воскресенье будет у меня свободное время, я и займусь этим делом.
В воскресенье он встал рано утром и сразу же принялся за счет, аккуратно отмечая точками сосчитанные квадратики. Каждую секунду появлялась новая точка под острием его карандаша; работал он усердно, и дело шло быстро. Но убедился ли он в этот день, что квадратный метр заключает  действительно миллион миллиметровых клеточек?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:63,Задача 54)

ЗАДАЧА 55.Кубический метр.

В одной школе учитель задал вопрос: какой высоты получился бы столб, если бы поставить один на другой все миллиметровые кубики, заключающиеся в кубическом метре?
— Это было бы выше Эйфелевой башни (300 метров)! — воскликнул один школьник.
— Даже выше Монблана (5 километров), — ответил другой.
Кто из них ошибался больше?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:63,Задача 55)

ЗАДАЧА 56.Кубический километр.

Вообразите кубический ящик высотой в целый километр (немного менее версты). Как вы думаете, сколько таких ящиков понадобилось бы, чтобы вместить тела всех людей, живущих на свете? Примите во внимание, что население земного шара равно 1800 миллионам человек1 и что в одном кубическом метре можно уместить средним счетом 5 человеческих тел.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:64,Задача 56)

ЗАДАЧА 57.Волос.

Человеческий волос очень тонок: толщина его — около 20-й доли миллиметра. Но если бы волос был в миллион раз толще, какой примерно ширины был бы он? Один из моих знакомых, которому я задал этот вопрос, ответил, что волос был бы тогда толще круглой комнатной печи; другой утверждал, что волос был бы шириной во всю комнату. Оба, конечно, ошибались, — но кто ошибся больше?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:64,Задача 57)

ЗАДАЧА 58.Сколько портретов?

Нарисуйте портрет на папке и разрежьте его на полосы, как показано на рисунке. Если вы умеете хоть немного рисовать, вам нетрудно будет изготовить еще такие же полосы с изображением различных частей лица, — однако так, чтобы каждые две соседние полосы, даже принадлежащие к разным портретам, можно было прикладывать одну к другой без нарушения непрерывности линий. Если вы для каждой части лица приготовите, например, 4 полосы 1, у вас будет 28 полос, из которых, складывая по 9, вы сможете составлять разнообразные портреты.
В магазинах, где одно время продавали готовые наборы таких полос (или брусков) для составления портретов, продавцы уверяли покупателей, что из 36 полос можно получить тысячу различных физиономий.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:65,Задача 58)

ЗАДАЧА 59.Французский замóк.

Хотя французский замок известен всем, но устройство его знают лишь немногие. Поэтому часто приходится слышать сомнения в том, чтобы могло существовать большое число различных французских замков и ключей к ним. Достаточно, однако, познакомиться с остроумным механизмом этих замков, чтобы убедиться в возможности разнообразить их в достаточной степени. Кстати, — название «французский» совершенно неправильно, так как родина этих замков Америка, а изобрел их американец Йэль, — почему на всех таких замках и ключах имеется надпись «Yale». Вы видите вокруг замочной скважины небольшой кружок: это основание валика, проходящего через весь замок. Задача открывания замка заключается в том, чтобы повернуть этот валик, — но в этом-то и вся трудность. Дело в том, что валик удерживается в определенном положении пятью короткими стальными стерженьками. Каждый стерженек в каком- нибудь месте распилен надвое, и только если разместить стерженьки так, чтобы все разрезы приходились на уровне валика, можно будет его повернуть. Это необходимое расположение придает стерженькам ключ с соответственными выступами на краю: достаточно его вставить, чтобы стерженьки заняли то определенное и единственное расположение, которое необходимо для открытия замка. Теперь легко понять, что число различных замков этого типа может быть действительно весьма велико. Оно зависит от того, сколькими способами можно разрезать каждый стержень на две части; число это, разумеется, не бесконечно, если принять во внимание ограниченную высоту зубчиков ключа. Предположите, что каждый стерженек можно разрезать на две части 10-ю способами, и попробуйте сосчитать, сколько же различных французских замков можно при таком условии изготовить?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:66,Задача 59)

ЗАДАЧА 60.Скромная награда.

Задача, которую я вам сейчас предложу, не нова, даже очень не нова. Она общеизвестна, но именно потому я и включил ее в этот сборник головоломок. Ведь книжка моя предназначается не для тех, кто знает все общеизвестное, а для тех, кому это еще должно стать известным.
Итак, пусть вам станет отныне известна старинная легенда о том, какую награду попросил себе древний мудрец Сета у индусского правителя Шерама за то, что придумал шахматную игру. Мудрец просил вознаградить его за изобретение шахматной доски тем, чтобы выдать за первое ее поле всего 1 пшеничное зерно, за второе поле — 2 зерна, за третье — 4, за четвертое — 8 и т. д., удваивая вознаграждение за каждое следующее поле, пока не будут оплачены все 64 поля доски. Что же касается шахматных фигур, то за них мудрец никакой награды не требовал.
Правитель подивился такой скромности и отпустил мудреца, приказав немедленно выдать ему следуемые зерна.Когда спустя некоторое время правитель осведомился, исполнено ли в точности его приказание, ему в смущении ответили, что требуемая награда не может быть выдана.
— Почему? — спросил правитель.
— Почему? — спросим и мы читателя.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:68,Задача 60)

ПУТЕШЕСТВИЯ ПО КРИСТАЛЛУ И НЕПРЕРЫВНОЕ ЧЕРЧЕНИЕ

ЗАДАЧИ 61-70.

— Чем эта муха на кристалле вас так заинтересовала?
— Своим странным поведением: она ходит по кристаллу, право, не без системы. Посмотрите, все время придерживается она ребер и не ступает по граням. Что за охота ей ходить по гребням, когда рядом сколько угодно плоских мест?
— Мне кажется, дело довольно просто. Чем склеены у вас грани этого кристалла?
— Вы подозреваете, что в клее есть что-то сладкое, привлекающее муху? Кажется, вы правы; она действительно вылизывает хоботком ребра кристалла. Так вот почему она медленно и систематически переходит с одного ребра на другое!
— И при этом на практике разрешает интересную задачу: обойти весь многогранник по его ребрам, не посещая дважды ни одного ребра.
— Разве это возможно?
— В данном случае вполне: ведь этот кристалл — восьмигранник.
— Да, октаэдр. Что же из этого?
— У него на каждой вершине сходятся 4 ребра.
— Разумеется. Но какое же отношение имеет это к нашей задаче?
— Самое непосредственное. Задача обойти все ребра многогранника, и притом не более чем по одному разу, разрешима только для тех многогранников, у которых на каждой вершине сходится четное число ребер.
— Вот как! Я об этом не знал. Почему же?
— Почему у каждой вершины должно сходиться именно четное число ребер? Очень просто. Надо ведь на каждую вершину попасть и надо с нее уйти, — значит, нужно, чтобы к ней вела одна дорога и от нее отходила другая, т. е. чтобы у нее сходилась пара ребер. Если же, продолжая путешествовать по кристаллу, вы попадете на ту же вершину вторично, т. е. если к ней ведет еще и третье ребро, то должно иметься непременно и четвертое ребро, чтобы вы могли уйти с этой вершины, а не очутиться в тупике. Другими словами, число ребер, сходящихся у каждой вершины, должно быть парное, т. е. четное. Если хотя бы одна вершина многогранника имеет нечетное число сходящихся к ней ребер, то на такую вершину вы, исчерпав все ведущие к ней парные ребра, можете попасть, конечно, по последнему неиспользованному ребру, — но покинуть этой вершины уже не сможете: путешествие здесь поневоле оборвется.
— Но я могу ведь совсем не воспользоваться этим ребром, раз оно заведомо ведет в тупик!
— Тогда вы не выполните другого условия нашего путешествия: пройти по всем ребрам без исключения.
— Позвольте: но может же случиться, что это ребро как раз последнее и единственное еще не пройденное. Тогда нет вовсе надобности покидать его: оно и будет конечной целью путешествия.
— Совершенно правильно. И если бы в фигуре была только одна «нечетная» вершина, то вам нужно было бы избрать такой маршрут, чтобы вершина эта оказалась последним этапом, — тогда вы разрешили бы задачу успешно. Или же можете начать с этой вершины —тогда вам не придется на нее возвращаться. Я должен только прибавить к этому, что фигуры с одной «нечетной» вершиной существовать не может: таких вершин должно быть четное число — две, четыре, шесть и т. д.
— Это почему же?
— Подумайте о том, что каждое ребро соединяет две вершины. И если какая-нибудь вершина имеет ребро без пары, то ребро это должно упираться в какую-нибудь соседнюю вершину и там тоже быть непарным ребром.
— А если соседняя вершина была бы без этого ребра тоже нечетная? Тогда новое ребро делает ее «четной», и наша «нечетная» вершина остается одинокой.
— Этого не может быть. Если без нашего ребра у соседней вершины сходится нечетное число ребер, то, значит, одно из ее ребер, остающееся вне пары, соединено со следующей вершиной, и следовательно, «нечетная» вершина будет найдена дальше, но все же будет существовать. Вы видите, что если в фигуре имеется одна «нечетная» вершина, то непременно должна  существовать и вторая. Число «нечетных» вершин не может быть нечетным. Поясню это еще и иным путем, пожалуй, более простым. Предположите, что вы желаете сосчитать, сколько ребер в какой-нибудь фигуре. Вы считаете ребра, сходящиеся у одной вершины, прибавляете ребра, сходящиеся у второй, потом — у третьей и т. д. Когда вы все это сложите, что у вас получится?
— Двойное число ребер фигуры, потому что каждое ребро считалось по два раза: ведь каждое ребро соединяет две вершины.
— Именно. Вы получите удвоенное число ребер. И если допустить, что у одной из вершин сходится нечетное число ребер, а у всех прочих — четное, то результат сложения будет, конечно, число нечетное. Но может ли удвоенное целое число быть нечетным?
— Не может, конечно. Теперь мне вполне ясно, что «нечетных» вершин во всякой фигуре должно быть две, четыре — вообще, четное число. Все же я думаю, что и кристалл с двумя «нечетными» вершинами возможно обойти. Пусть у нас имеется фигура с двумя «нечетными» вершинами. Что мешает начать путешествие именно в одной из этих точек и закончить в другой? Тогда не понадобится ни возвращаться в первую, ни уходить из последней: путешествие будет выполнено с соблюдением всех требуемых условий.
— Правильно! В этом и состоит секрет успешного выполнения подобных путешествий, или — что то же самое — правило вычерчивания фигур одним росчерком пера. Если требуется непрерывным движением начертить фигуру — безразлично, в плоскости или в пространстве, — то прежде всего внимательно рассмотрите фигуру и определите, имеются ли у нее «нечетные» вершины, т. е. такие вершины, у которых встречается непарное число линий. Если подобных вершин в фигуре больше двух, то задача неразрешима. Если только две, — то нужно начать вычерчивание из одной «нечетной» точки и закончить в другой. Если «нечетных» вершин вовсе нет, то можете начинать чертить из любой вершины, и всегда найдется способ выполнить всю фигуру, возвратившись к начальной точке. Каким путем вы в таком случае поведете перо — безразлично. Надо только заботиться о том, чтобы не  вести линию к вершине, от которой нет больше пути, т. е. стараться не замыкать фигуры раньше времени. Вот пример: фигура в форме буквы Ф. Можно ли ее начертить одним росчерком пера?
— В ней всего две «нечетные» вершины, именно концы палки. Значит, ее начертить одним росчерком пера возможно. Но как?
— Надо начать с одного конца палки и кончить другим.
— В детстве я ломал свою голову над тем, чтобы начертить одним росчерком пера четырехугольник с двумя диагоналями. Мне этого никак не удавалось сделать.
— И не удивительно: ведь в ней 4 нечетных вершины — углы четырехугольника. Бесполезно даже ломать голову над этой задачей: она неразрешима.
— А такая фигура?
— Ее тоже нельзя начертить одной непрерывной линией, потому что у нее 4 вершины, в каждой из которых сходится по 5 линий, т. е. у нее 4 «нечетных» вершины. Зато легко начертить фигуры черт. 146-й и 147-й: у них все вершины «четные».
Теперь перейдем к той задаче, которую собирается решить наша муха: обойти по одному разу все ребра октаэдра непрерывным движением. На каждой вершине этой фигуры сходятся 4 ребра; в ней вовсе нет «нечетных» вершин. Поэтому вы можете начать путешествовать с любой вершины и возвратитесь в исходную точку. Вот одно из возможных решений:
— А знаете, это интересный род головоломок! Дайте мне десяток подобных задач, я подумаю о них на досуге.
— Извольте.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:77,Задача 61-70)

ДЕСЯТЬ РАЗНЫХ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 71. Горизонт.

Часто приходится читать и слышать, что одно из убедительных доказательств шарообразности Земли — круглый вид горизонта. Так как всюду линия горизонта — окружность, то Земля наша должна быть шаром. Подумайте, однако: какую фигуру имела бы линия горизонта, если бы Земля наша была не шарообразная, а плоская, бесконечно простираясь во все стороны?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:88,Задача 71)

ЗАДАЧА 72. Где и когда?

Вам, вероятно, знаком бессмысленный стишок
Рано утром, вечерком,
В полдень, на рассвете…
Неведомый слагатель этих стихов стремился выразить ими заведомую нелепость и подбирал слова, одно другому противоречащие. Между тем приведенная фраза не совсем бессмысленна; существуют места на земле, где такое определение времени вполне применимо и относится к некоторому реальному моменту. Где же и когда это бывает?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:88,Задача 72)

ЗАДАЧА 73. Рост Эзопа.

«Уверяют, что Эзопова голова была длиною 7 дюймов, а ноги так длинны, как голова и половина туловища; туловище ж равно длине ног с головою. Спрашивается рост сего славного человека».
(Эта задача заимствована из обширного старинного русского учебника математики 

Ефима Войтяховского, конца XVIII века.)

(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:89,Задача 73)

ЗАДАЧА 74. Пять обрывков цепи.

Кузнецу принесли пять цепей, по три звена в каждой, и поручили соединить их в одну цепь. Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать о том, сколько колец понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что придется раскрыть и снова заковать четыре кольца.
Нельзя ли, однако, выполнить ту же работу, раскрыв меньше колец?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:89,Задача 74)

ЗАДАЧА 75. Четырьмя пятерками.

Нужно выразить число 16 с помощью 4 пятерок, соединяя их знаками действий. Как это сделать?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:89,Задача 75)

ЗАДАЧА 76. Вишня.

Мякоть вишни окружает ее косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня и косточка имеют форму шариков. Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:90,Задача 76)

ЗАДАЧА 77. Дыни.

Продаются две дыни. Одна, окружностью 72 сантиметра, стоит 40 рублей. Другая, окружностью 60 сантиметров, стоит 25 рублей. Какую дыню выгоднее купить?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:90,Задача 77)

ЗАДАЧА 78. Удивительная затычка.

В доске выпилены три отверстия: одно — квадратное, другое — круглое, третье — в форме креста. На нашем чертеже 155-м вы видите эти отверстия.
Нужно изготовить затычку такого фасона, чтобы она годилась для каждого из этих отверстий. Вам кажется, что такой всеобщей затычки быть не может: отверстия чересчур разнообразны по форме. Могу вас уверить, что подобная затычка существует. Попытайтесь найти ее.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:90,Задача 78)

ЗАДАЧА 79. Модель башни Эйфеля.

Башня Эйфеля в Париже, 300 метров высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее 8 000 000 килограммов. У моего знакомого есть точная модель знаменитой башни, весящая всего только один килограмм. Какой она высоты? Выше стакана или ниже?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:91,Задача 79)

ЗАДАЧА 80. Муха на ленте.

У меня была в руках длинная бумажная лента, с одной стороны красная, с другой — белая. Я склеил ее концы и получившееся бумажное кольцо положил на стол. Внимание мое привлекла муха, севшая на красную сторону ленты и начавшая странствовать по ней. Я стал следить за ее путешествием вдоль ленты и, к изумлению, заметил, что, побродив немного по ленте, она очутилась на противоположной, белой стороне, хотя все время оставалась на ленте и нигде не переползала через ее край. Продолжая следить за ее движениями, я вскоре увидел ее снова на красной стороне ленты, хотя положительно мог утверждать, что она не переступала и не перелетала через края ленты и ползла все время, не покидая ее. Не объясните ли вы, как могло это случиться?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:91,Задача 80)

ЕЩЕ ДЕСЯТЬ РАЗНЫХ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 81. Кто больше?

Двое человек считали в течение часа всех прохожих, которые проходили мимо них на тротуаре. Один из считавших стоял у ворот дома, другой прохаживался туда и назад по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:96,Задача 81)

ЗАДАЧА 82. Возраст моего сына.

Теперь мой сын моложе меня втрое. Но пять лет назад он был моложе меня в четыре раза. Сколько ему лет?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:96,Задача 82)

ЗАДАЧА 83. Состязание.

Две парусные лодки участвуют в состязании: требуется пройти 24 версты туда и назад в кратчайшее время. Первая лодка прошла весь путь с равномерной скоростью 20 верст в час; вторая двигалась туда со скоростью 16 верст в час, а обратно — со скоростью 24 версты в час. Победила на состязании первая лодка, — хотя, казалось бы, вторая должна была на пути в одном направлении отстать от первой ровно на столько же, на сколько она опережала ее на обратном пути, и, следовательно, прийти одновременно с первой. Почему же она опоздала?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:96,Задача 83)

ЗАДАЧА 84. По реке и по озеру.

Плывя вниз по реке, гребец проплывает 5-верстное расстояние в 10 минут. Возвращаясь, он проплывает то же расстояние в час. Следовательно, 10 верст он при указанных условиях проплывает в 1 час 10 минут. А во сколько времени проплыл бы он 10 верст в стоячей воде озера?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:97,Задача 84)

ЗАДАЧА 85. От Энска до Иксограда.

Плывя по течению, пароход делает 20 верст в час; плывя против течения — всего 15 верст в час. Чтобы пройти от пристани г. Энска до пристани г. Иксограда, он употребляет на 5 часов меньше, чем на обратный путь. Как далеко от Энска до Иксограда?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:97,Задача 85)

ЗАДАЧА 86. Всмятку и вкрутую.

Хозяйка сварила 5 яиц: два вкрутую и три всмятку. Но она забыла отметить, какие именно яйца сварены вкрутую и какие — всмятку, и подала их к столу на одном блюде. Вы наудачу берете с блюда два яйца. Есть ли вам расчет биться о заклад, ставя один рубль против пяти, что вам попадутся оба крутых яйца?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:97,Задача 86)

ЗАДАЧА 87. Игральная кость.

Вот игральная кость: кубик с обозначенными на его гранях очками от 1 до 6. Петр бьется о заклад, что если бросить кубик 4 раза подряд, то за все четыре раза кубик непременно упадет один раз единичным очком кверху. Владимир же ставит против него: он утверждает, что единичное очко либо совсем не выпадет при четырех метаниях, либо же выпадет больше одного раза. У кого из них больше вероятия выиграть?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:98,Задача 87)

ЗАДАЧА 88. Семеро друзей.

У одного гражданина было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй — каждый второй вечер, третий — каждый третий вечер, четвертый — каждый четвертый вечер и т. д. до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер. Часто ли случалось, что все семеро друзей собирались у хозяина в один и тот же вечер?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:98,Задача 88)

ЗАДАЧА 89. Продолжение предыдущей.

В те вечера, когда семеро друзей собирались вместе, хозяин угощал их вином, и все чокались друг с другом попарно. Сколько раз звучали при этом стаканы, сталкиваясь между собою?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:99,Задача 89)

ЗАДАЧА 90. Основание Карфагена.

Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого рукой ее брата, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и, благодаря такой уловке, охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, к которой впоследствии был пристроен город.
Попробуйте вычислить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занимать крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. метра, а ширину ремешков, на которые Дидона ее изрезала, принять равной одному миллиметру.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:99,Задача 90)

ОБМАНЫ ЗРЕНИЯ

ЗАДАЧА 91. Две дуги.

На рисунке изображены две дуги, которые сопровождаются короткими штрихами. Какая дуга сильнее изогнута: верхняя или нижняя?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:104,Задача 91)

ЗАДАЧА 92. Три полоски.

Какая из трех бумажных полосок, изображенных на чертеже, самая длинная?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:104,Задача 92)

ЗАДАЧА 93. Два корабля.

Перед вами два корабля: пароход и парусник. У которого из них палуба длиннее?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:105,Задача 93)

ЗАДАЧА 94. Где середина?

Школьника спросили, где середина высоты начерченного здесь треугольника. Школьник показал место, обозначенное на фигуре черточкой. По его мнению, эта точка и есть середина. Поправьте его на глаз и затем проверьте его и себя бумажкой.
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:105,Задача 94)

ЗАДАЧА 95. Два прямоугольника.

Школьник начертил два прямоугольника, пересеченные прямой линией, и утверждал, что эти прямоугольники равны. Почему он думал, что они равны?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:106,Задача 95)

ЗАДАЧА 96. Шляпа иностранца.

Я показывал своим знакомым картинку, и они утверждали, что прямоугольник, описанный около шляпы этого иностранца, имеет форму квадрата. В чем их ошибка?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:106,Задача 96)

ЗАДАЧА 97. Продолжить линию.

Если продолжить прямую линию, то куда она упрется: выше точки c или ниже?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:106,Задача 97)

ЗАДАЧА 98. Что длиннее?

Какая из линий ab, cd или ef на черт. 166-м самая длинная?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:107,Задача 98)

ЗАДАЧА 99. Поместится ли?

Поместится ли в промежутке между AB и CD изображенный здесь кружок?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:108,Задача 99)

ЗАДАЧА 100. Два кружка.

На черт. вы видите два заштрихованных кружка, которые кажутся одинаковых размеров. Но после того как вы изощрили свой глазомер предыдущими упражнениями, вы, конечно, не попадете впросак. Вам нетрудно поэтому будет ответить на вопрос: какой кружок больше?
(Перельман,Для юных математиков.Вторая сотня головоломок,1924:108,Задача 100)