Игнатьев1923-2

Игнатьев Е. И. В царстве смекалки или арифметика для всех. Издание 4-е. Книга 2. - Москва-Петроград: Государственное издательство, 1923 г. - 264 с.

ПРОСТО ЗАДАЧИ

Задача 1-я. Где начинается новый год?

Обыкновенно спрашивают, когда начинается новый год, и мало кто задается вопросом: где он начинается? Вопрос этот, пожалуй, может даже показаться нелепым. Кажется ясным, что новый год начинается там, где он начинается, и спрашивать тут собственно не о чем.Однако, дело не так-то просто, как кажется, и вопрос—где, в каком пункте земного шара впервые наступает новый год,— имеет вполне определенный смысл. 
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:7;Задача 1 mathedu.ru)

Задача 2-я. Три воскресенья на одной неделе.

Может ли на одной неделе быть три воскресенья? Мы знаем, 'Что у некоторых людей бывает «семь пятниц на одной неделе». Но бывает ли три воскресенья?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:12;Задача 2 mathedu.ru)

Задача 3-я. Определение направления с помощью карманных часов.

С помощью карманных часов в солнечный день можно определить всегда с достаточной точностью все четыре «страны света», т. е. точки севера, юга, востока и запада горизонта. Способ этот настолько прост и легко объясним, что остается только ожидать в скором времени его всеобщего распространения.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:16;Задача 3 mathedu.ru)

Задача 4-я. Сколько воды в бочке?

Двое заспорили о содержимом бочки. Один спорщик говорил, что воды в бочке более, чем наполовину, а другой утверждал, что меньше. Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:18;Задача 4 mathedu.ru)

Задача 5-я. Крест обратить в квадрат.

Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один равновеликий кресту по площади квадрат?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:19;Задача 5 mathedu.ru)

Задача 6-я. Коврик.

У одной дамы был прямоугольный коврик размерами 36x27 дюймов. Два противоположных угла его истрепались,—пришлось их отрезать в виде треугольных лоскутов. Но даме, все же, хотелось иметь коврик в форме прямоугольника. Она поручила обойщику разрезать его на такие две части, чтобы из них можно было сшить прямоугольник, не теряя, конечно, ни кусочка материи. Обойщик исполнил желание дамы. Спрашивается, как ему удалось это сделать?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:20;Задача 6 mathedu.ru)

Задача 7-я. Оригинальное доказательство.

Всякий, проходивший геометрию, знает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам.
Но мало кому известно, что эта основная теорема, на которой зиждется все стройное Евклидово здание, может быть «доказана» с помощью простого лоскутка бумаги.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:20;Задача 7 mathedu.ru)

Задача 8-я. Вычерчивание циркулем овальных линий.

Для вычерчивания по плоскости замкнутых овальных кривых, известных под именем эллипсисов (или эллипсов), существует специальный прибор, так называемый эллипсограф. Но можно получать овалы правильной формы просто с помощью циркуля, если только прибегнуть к небольшому ухищрению.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:21;Задача 8 mathedu.ru)

Задача 9-я. Теорема Пифагора.

Посредством плиток домино доказать Пифагорову теорему, т.е.то, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:22;Задача 9 mathedu.ru)

Задача 10-я. Египетская задача.

С помощью веревки в 12 единиц длины построить прямоугольный треугольник.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:23;Задача 10 mathedu.ru)

Задача 11-я. Численный круг пифагорейцев.

Пифагорейский круг -  «Circulus Pythagoricus» находится в сочинении одного из учеников Пифагоровой школы Ямблика, жившего в IV-м веке после Р. X.1. Его свойства рассматриваются в задаче.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:26;Задача 11 mathedu.ru)

Задача 12-я. Земля и апельсин.

 Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 сажень. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и останется некоторый прозор (промежуток). Спрашивается, в каком случае этот прозор будет больше, — у земного шара или апельсина?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:28;Задача 12 mathedu.ru)

ОБМАНЫ ЗРЕНИЯ

Задача 13-я. Какая линия длиннее?

Взглянув на прилагаемый чертеж, скажите, какая линия длиннее: АХ или АY?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:34;Задача 13 mathedu.ru)

Задача 14-я. Две пары дуг.

На фиг. 19 изображены две пары круговых дуг. Если продолжить левые дуги, то встретят ли они оконечности правых?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:36;Задача 14 mathedu.ru)

Задача 15-я. Как написано слово?

Прилагаемая и следующая фигуры (фиг. 20 и 21) дают едва ли не самые интересные образчики зрительных иллюзий. На фиг. 20-й вы видите написанное английское слово LIFE (жизнь), при чем вам до очевидности ясно, что буквы резко наклонены в разные стороны. Но приложив линейку, вы можете убедиться, что эти буквы поставлены совершенно прямо и только начерчены мелкими наклонными штрихами.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:36;Задача 15 mathedu.ru)

Задача 16-я. Какая кривая?

На фигуре 21-й изображены концентрические окружности, а вовсе не спираль или ряд спиралей, как кажется на взгляд.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:37;Задача 16 mathedu.ru)

ЗАДАЧИ И РАЗВЛЕЧЕНИЯ СО СПИЧКАМИ

Задача 17-я.

Этот дом составлен из 10 спичек. Требуется повернуть его к нам другой стороной, передвинув только 2 спички.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:38;Задача 17 mathedu.ru)

===Задача 18-я.===
Весы составлены из 9 спичек и не находятся в состоянии равновесия. Требуется переложить 5 спичек, чтобы весы были в равновесии.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:38;Задача 18 mathedu.ru)

Задача 19-я.

Греческий храм построен из 11 спичек. Требуется переложить 4 спички так, чтобы получилось 11 квадратов.

(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:39;Задача 19 mathedu.ru)

Задача 20-я.

В памятнике, составленном из 12-ти спичек, требуется переложить 5 спичек так, чтобы получилось 3 квадрата.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:39;Задача 20 mathedu.ru)

Задача 21-я.

Две рюмки составлены из десяти спичек. Переложить в них 6 спичек так, чтобы получился дом.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:39;Задача 21 mathedu.ru)

Задача 22-я.

Флюгер составлен из 10 спичек. Переложить 4 спички так, чтобы получился дом.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:40;Задача 22 mathedu.ru)

Задача 23-я.

Вот фонарь и вот топор. Каждый из них составлен из 9 спичек. Переложить в фонаре 6 спичек и получить четыре равных треугольника, составляющих в свою очередь четыреугольник. Переложить в топоре 4 спички так, чтобы получилось 3 равных треугольника.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:40;Задача 23 mathedu.ru)

Задача 24-я.

В лампе, составленной из 12 спичек переложить 3 спички так, чтобы получилось 5 равных треугольников.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:41;Задача 24 mathedu.ru)

Задача 25-я.

Из 10 спичек сделан ключ. Переложить в нем 4 спички так, чтобы получилост 3 квадрата.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:41;Задача 25 mathedu.ru)

Задача 26-я.

У звезды, составленной из 12 спичек:
a. переложить 4 спички так, чтобы получился четырехконечный крест;
b. в полученном кресте переложить 8 спичек так, чтобы получить крест, состоящий из четырех крестов;
c. в этом послелнем кресте переложить 8 спичек так, чтобы получилось 4 квадрата;
d. наконец, переложить 8 спичек так, чтобы получилась мельница.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:41;Задача 26 mathedu.ru)

Задача 27-я. Дележ сада.

Изгородь квадратного сада составлена 16 спичками. В ней находится дом, представленный квадратом из 4-х спичек. Требуется разделить сад (без дома) между 5-ю наследниками, при помощи 10-ти спичек, так, чтобы каждый получил части одинаковые по величине и по форме.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:42;Задача 27 mathedu.ru)

Задача 28-я. Сообразите-ка!

Кладут произвольное, не очень малое, количество спичек в ряд, надписывают над 9 спичками, следующими друг за другом, числа от 1 до 9 и просят кого-нибудь из присутствующих заметить одно из этих 9 чисел. Взяв в уме какое-нибудь не особенно малое число (например, 23), считают про-себя от 9 далее вправо: 10, 11, 12 и т. д. до 23; если ряд оканчивается, продолжают счет, переходя к началу ряда. Затем вы говорите партнеру, заметившему число: «Считайте от своего числа последовательно по спичкам до 23, переходя к началу ряда, если не хватит спичек. Когда вы скажете 23, то укажете на спичку № 4».
Подумайте немного, и вы убедитесь, что так оно и должно быть! Эта трудная на первый взгляд задача очень легка по существу.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:42;Задача 28 mathedu.ru)

Задача 29-я. Расстановка часовых.

Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 12 часовых. Полковник разместил их, по 4 с каждой стороны. Затем пришел комендант и, недовольный размещением часовых, распорядился расставить солдат так, чтобы с каждой стороны было по 5. Вслед за комендантом пришел генерал, рассердился на коменданта за его распоряжение и разместил солдат по 6 человек с каждой стороны. Каково было размещение в двух последних случаях?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:43;Задача 29 mathedu.ru)

Задача 30-я. Хитрецы.

В корчме стояло четыре стола, образуя четыреугольник. Проголодавшиеся, возвращавшиеся с маневров, солдаты остановились там в числе 21 человека пообедать и пригласили к обеду хозяина. Расселись все так: за тремя из столов сели солдаты — по 7 за каждый стол, а за четвертым столом сел хозяин. Солдаты уговорились с хозяином, что платить по счету будет тот, кто останется последним при следующем условии: считая в круговую (по часовой стрелке) всех, в том числе и хозяина, освобождать каждого седьмого. Каждый освобожденный уходил из корчмы, и последним остался сам хозяин. С кого начали счет?
С кого нужно было бы начать, если бы было только по 4 солдата за каждым из трех столов?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:44;Задача 30 mathedu.ru)

Задача 31-я.

Предложите кому-либо взять в каждую руку по равному какому угодно числу спичек (или каких-либо иных предметов). Это число вам неизвестно. Предложите партнеру переложить из правой руки в левую то число предметов, которое вы ему скажете (напр., число а). Затем, ничего не показывая и не говоря вам, пусть он отложит из левой руки столько спичек, сколько у него осталось в правой; и, наконец, опять-таки ничего вам не показывая, пусть отложит в сторону все спички из правой руки. Теперь вы можете смело утверждать, что у вашего партнера осталось в левой руке всего 2а спичек.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:44;Задача 31 mathedu.ru)

Задача 32-я. Верная отгадка.

Иван берет в одну руку четное, а в другую нечетное число спичек. Петр предлагает ему помножить число спичек в правой руке на нечетное число, а число спичек в левой руке на четное и сказать ему сумму полученных произведений. Вслед затем он угадывает, в какой руке у Ивана четное и в какой нечетное число спичек. Как это он делает?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:45;Задача 32 mathedu.ru)

Задача 33-я. Собрать в группы по 2.

10 спичек положены в один ряд. Требуется распределить их попарно, всего в 5 пар, перекладывая по одной спичке через две (например, № 1 переложить к № 4 и т. д.).
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:46;Задача 33 mathedu.ru)

Задача 34-я. Собрать в группы по 3.

5 спичек лежат в ряд. Требуется собрать их в 5 групп (или кучек) по 3 спички в каждой, при чем перекладывать спички по одной и каждый раз перескакивать через 3 спички.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:46;Задача 34 mathedu.ru)

Задача 35-я. Перемещение лошадей.

В конюшне устроено 9 стойл в ряд; 5-ый номер не занят: в номерах 1, 2, 3 и 4 находятся черные лошади (копейки), а в 6, 7,8 и 9 белые лошади (гривенники или иные предметы). Требуется перевести белых лошадей в 1, 2, 3 и 4 номера, а черных в 6,7,8 и 9 на следующих условиях: каждая лошадь может быть переводима в ближайшее стойло или соседнее с ним, но не дальше; никакая лошадь не должна быть возвращаема в прежнее стойло, и в каждом стойле не может быть больше одной лошади. Начинать с белой лошади.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:47;Задача 34 mathedu.ru)

Задача 36-я. Поднять одной спичкой 15 спичек.

Как поднять одной спичкой 15 спичек?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:47;Задача 36 mathedu.ru)

Задача 37-я. Спичечный телеграф.

Спичечный телеграф строится, как указано на рисунке. Можно конечно, удлинить или укоротить его по желанию. Если нажать в В, то А подпрыгнет.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:48;Задача 37 mathedu.ru)

Задача 38-я. Легко или нет?

Вот положено на столе 5 спичек, которые предлагаем вам поднять двумя руками так: сперва спичку № 1 двумя большими пальцами; оставив ее Между этими пальцами, поднять затем двумя указательными пальцами спичку № 2; оставляя эти две спички между пальцами, поднимите затем спичку № 3 средними пальцами, спичку 4—безымянными и спичку 5—мизинцами. 
Интересно знать, удастся ли это вам? Скоро ли и легко ли? А если не легко, то почему? Но если, в конце концов, это вам удалось бы сделать, то попробуйте точно так же соответствующими пальцами обеих рук поднять по 2, по 3 спички.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:48;Задача 38 mathedu.ru)

ЛАБИРИНТЫ

Задача 39-я. Хижина Розамунды.

Требуется найти путь к хижине прекрасной Розамунды, поселившейся в парке.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:63;Задача 39 mathedu.ru)

Задача 40-я. Еще лабиринт.

Вот еще любопытный образчик лабиринта, в котором надо пробраться по кратчайшей дороге к центру.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:64;Задача 40 mathedu.ru)

Задача 41-я. Картографический вопрос или теорема о четырех красках.

Для всякой карты достаточно четырех различных красок, чтобы любые две области, имеющие общую пограничную линию, не были окрашены в один и тот же цвет. При этом все равно, сколько бы ни было областей, как бы прихотливы ни были их пограничные очертания и как бы сложно ни было их расположение.
Из прилагаемой фигуры можно убедиться, что четыре различных краски действительно необходимы. Нескольких попыток, предпринятых в этом направлении, достаточно для большинства, чтобы убедиться в невозможности составить карту с таким расположением областей или участков, где потребовалось бы для выполнения условий задачи более четырех различных красок. Дать этому последнему положению математическое доказательство—представляет совершенно иной вопрос.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:66;Задача 41 mathedu.ru)

О ВЕСЬМА БОЛЬШИХ И ВЕСЬМА МАЛЫХ ЧИСЛАХ

Задача 42-я. Довольно большое число!

С помощью трех девяток написать возможно большое число.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:71;Задача 42 mathedu.ru)

Задача 43-я. Лавины.

Пусть кто-либо пошлет три письма, обозначив каждое номером 1. Каждый получивший такое письмо в свою очередь пусть пошлет по 3 копии с него, обозначал эти копии номером 2; каждый получивший эти копии № 2-й в свою очередь тоже пошлет по 3 копии с письма, обозначив их номером 3, и т. д. до тех пор, пока номер рассылаемой копии не достигнет какого либо определенного числа, напр., 50. Предположим теперь, что каждый, кого просят, сделает это и пошлет по 3 копии; предположим также, что письма всегда будут получать разные лица, так что никто не получит письма дважды. Спрашивается, при каком номере копии каждый мужчина, женщина или ребенок на всей Земле получит подобное письмо?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:72;Задача 43 mathedu.ru)

Задача 44-я. Загадочная автобиография.

В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Вот ее начало:
«Я окончил курс университета 44-х лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в наших летах, всего 11 лет,—способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Через небольшое число лет у меня была уже и маленькая семья в 10 человек детей. Жалованье я получал, положим, слишком скромное, всего 200 рублей в месяц. Из этого жалованья приходилось отдавать сестре, так что мы со своей семьей жили на 130 р.», и т. д.
Предлагается объяснить: что за странные и явные противоречия получаются в числах?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:78;Задача 44 mathedu.ru)

Задача 45-я. Написать единицу тремя пятерками.

 (Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:80;Задача 45 mathedu.ru)

Задача 46-я. Написать нуль тремя пятерками.

 (Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:81;Задача 46 mathedu.ru)

Задача 47-я. Написать 2 тремя пятерками.

 (Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:81;Задача 47 mathedu.ru)

Задача 48-я. Написать 5 тремя пятерками.

 (Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:81;Задача 48 mathedu.ru)

Задача 49-я. Написать 31 пятью тройками.

 (Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:82;Задача 49 mathedu.ru)

ИЗ ОБЛАСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЕЛ

Задача 50-я. Быстрое возвышение в квадрат.

Существует очень простой прием для устного быстрого возвышения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на б:
Нужно цифру десятков умножить на ближайшее высшее число и к произведению приписать 25.
Так, например, 352=1225, т.-е. 25 приписано к произведению 3х4; 852 = 7225, т.-е. 25 приписано к произведению 8х9, и т. п.
Доказать этот прием.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:90;Задача 50 mathedu.ru)

Задача 51-я.

Попросите кого-либо написать какое угодно числа из трех цифр, но только такое, чтобы крайние цифры были различны. Пусть потом он возьмет это число наоборот, т.-е. переставит в нем крайние цифры, и вычтет одно число из другого. Полученная разность всегда делится на 9, и вы можете всегда сказать вперед, каково будет частное.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:93;Задача 51 mathedu.ru)

Задача 52-я.

Возьмите, не говоря мне ничего, любое двухзначное число, переставьте в нем цифры и вычтите большее число из меньшего. Скажите теперь только одну цифру полученной разности, и я скажу вам тотчас другую.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:94;Задача 52 mathedu.ru)

Задача 53-я.

Возьмите, не говоря ничего мне, число из трех или более цифр, разделите его на 9 и скажите мне только остаток, который получится от такого деления. Зачеркните теперь во взятом вами числе какую-либо цифру (но не нуль) и опять скажите мне остаток от деления на 9 числа, полученного после зачеркивания цифры, и я тотчас назову зачеркнутую вами цифру.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:95;Задача 53 mathedu.ru)

Задача 54-я.

Напишите число с пропущенной цифрой, и я тотчас вставлю туда такую цифру, что число точно разделится на 9.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:95;Задача 54 mathedu.ru)

Задача 55-я. Мгновенное умножение.

Я пишу множимое, а вы подписываете под ним какой хотите множитель из двух или трех цифр, и я тотчас же напишу вам произведение этих чисел, начиная от левой руки к правой.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:104;Задача 55 mathedu.ru)

ГРАФИКИ

Задача 56-я. Знаменитая задача Люка.

На одном научном конгрессе, в конце завтрака, на котором находилось много известных математиков, и между ними было несколько знаменитостей разных национальностей, известный математик Эдуард Люка вдруг объявил, что он хочет задать им один из самых трудных вопросов:
«Я полагаю, что каждый день, в полдень, отправляется пароход из Гавра в Нью-Йорк и в то же самое время пароход той же компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд совершается ровно в 7 дней в том и другом направлении. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встретит пароход, отправляющийся сегодня в полдень из Гавра?»
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:115;Задача 56 mathedu.ru)

Задача 57-я. Курьеры.

В общераспространенных задачниках в ряду иных часто встречаются «задачи о курьерах», или путниках, или поездах, идущих с различной скоростью от известного пункта, вдогонку друг за другом или же навстречу один другому. При этом спрашивается обыкновенно время их встречи и расстояние места встречи от точки отправления. Как с помощью графиков решать подобные задачи?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:116;Задача 57 mathedu.ru)

Задача 58-я. Собака и два путешественника.

Два пешехода идут по одной и той же дороге, в одном и том же направлении. Первый, А, находится на 8 км впереди другого и делает 4 км в час; второй, В, делает по 6 км в час. У одного из путешественников есть собака, которая, именно в тот момент, когда мы говорим, бежит к другому путешественнику со скоростью 15 км в час, потом сейчас же возвращается к своему хозяину; прибежав к нему, она снова бежит к другому путешественнику, и так до тех пор перебегает от одного к другому, пока оба путешественника встретятся. Нужно узнать, какой путь пробежит собака.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:117;Задача 58 mathedu.ru)

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Задача 59-я. Опровергнуть софизм.

Возьмем тождество $4-10+{\frac {25}{4}}=9-15+{\frac {25}{4}}$
которое можно представить в виде $(2-{\frac {5}{2}})^{2}=(3-{\frac {5}{2}})^{2}$
Извлекая из обеих частей квадратный корень, имеем: $2-{\frac {5}{2}}=3-{\frac {5}{2}}$
Прибавляя к обеим частям по ${\frac {5}{2}}$, имеем $2=3$
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:136;Задача 59 mathedu.ru)

Задача 60-я. Опровергнуть софизм.

Очевидно, что $({\frac {1}{2}})^{2}>({\frac {1}{2}})^{3}$
Логарифмируя обе части, получаем $2lg{\frac {1}{2}}>3lg{\frac {1}{2}})$
Деля обе части на одно и то же количество  $lg{\frac {1}{2}}$, получаем $2>3$
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:136;Задача 60 mathedu.ru)

Задача 61-я. Дележ верблюдов.

Старик араб, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний—треть и младший—девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как быть, братья обратились к шейху (старшина племени). Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил их по завещанию. Как он это сделал?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:136;Задача 61 mathedu.ru)

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Задача 62-я. Два общих наибольших делителя.

Допустим, что дано два количества
$x^{3}-a^{3}$ и  $a^{2}-x^{2}$ 
и затем на вопрос об их О. Н. Д. (общем наибольшем делителе) один ответил, что О. Н. Д. этих количеств есть $x-a$ , а другой, что такой делитель есть $a-x$. Спрашивается: кто прав? 
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:139;Задача 62 mathedu.ru)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Задача 63-я. Искусная починка.

На дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 дюймов длины и 5 дюймов ширины, т.-е. площадь! пробоины оказалась равной 13x5 = 65 квадратным дюймам. У судового же плотника для починки нашлась только одна квадратная доска со стороной квадрата в 8 дюймов, т.-е. вся площадь квадрата равнялась 8x8 = 64 квадр. дюймам (фиг. 89). Плотник ухитрился, однако, разрезать квадрат на части и сложить эти части так, что получился как раз прямоугольник, соответствующий пробоине, которую он и заделал. Вышло таким образом, что плотник владел секретом: квадрат в 64 квадратных единиц меры обращать в прямоугольник с площадью в 65 таких же квадратных единиц. Как это могло случиться?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:150;Задача 63 mathedu.ru)

Задача 64-я. Обобщение того же софизма.

На фигуре показано, как те же четыре фигуры (два равных треугольника и две равных трапеции), что и в предыдущей задаче, сложить 3-мя различными способами и получить фиг. А, В и С.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:153;Задача 64 mathedu.ru)

Задача 65-я. Похоже, но не то.

Софизм, похожий с виду на данный раньше (задача 63), получится, если построить прямоугольник со сторонами в 13 и 11 единиц длины, рассечь его диагональю и сдвинуть затем полученные треугольники по их общей гипотенузе в положение, указанное на фигуре. Эта последняя фигура по виду состоит из квадрата VRXS со сторонами в 12 единиц длины, т. е. площадью в 122=144 квадр. единиц. Кроме того, к этой площади надо прибавить площади треугольничков PQR и STU, каждая величиной в 1,5 квадр. единиц. Следовательно, площадь всей фиг. 94 равна 145 квадр. единицам. Но как же это получилось, если площадь прямоугольника на фигуре равна только 13x11=143 квадр. единицам?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:156;Задача 65 mathedu.ru)

Задача 66-я. Еще парадокс.

Возьмем квадрат со стороной в 8 единиц длины и, следовательно, с площадью в 64 квадр. един. Разрежем его, как указано на фигуре, и переложим части так, как указано на фигуре. Получается, по-видимому, прямоугольник с площадью 7х 9 =63, и это —ничего не отбрасывая от площади квадрата, равной 64 квадр. единицам.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:150;Задача 66 mathedu.ru)

ТРИ ЗНАМЕНИТЫХ ЗАДЧИ ДРЕВНОСТИ

Задача 67-я. Линейка и циркуль. Трисекция угла.

Для построений в элементарной теоретической геометрии допускаются только два прибора: циркуль и линейка. 
При этом само собой подразумевается, что циркуль, о котором идет речь, имеет неограниченное растворение. Вместе с тем необходимо подразумевается, что геометрическая линейка не имеет делений. Если бы на ее ребре было хотя всего два знака, и если бы позволено было ими пользоваться и вдобавок передвигать линейку, приноровляясь к фигуре, то задача о разделении угла на три равные части (неразрешимая в элементарной геометрии) тотчас может быть решена. Как разделить угол, используя только эти два прибора?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:163;Задача 67 mathedu.ru)

ВЫЯСНЕНИЕ ТРЕХ ПОСТУЛАТОВ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ

Задача 68-я. Несколько „коварных" вопросов.

Какое число делится на всякое другое число без остатка?
Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равна дроби, в которой числитель больше знаменателя? Если нет, то как же ${\frac {-3}{+6}}={\frac {+5}{-10}}$ ?
 В пропорции: ${\frac {+6}{-3}}={\frac {-10}{+5}}$
каждый из крайних членов не больше ли, чем каждый из средних? Что же сделалось с известным нам «правилом», что в пропорции «больший член так относится к меньшему, как больший же к меньшему»?
Можно ли написать равенство, что полуполный стакан=полупустому стакану?
Есть ли на свете люди с одинаковым числом волос на голове?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:191;Задача 68 mathedu.ru)

МАТЕМАТИКА В ПРИРОДЕ

Задача 69-я. О пчелиных ячейках.

На продолжении оси 00' правильной шестиугольной призмы возьмем точку S. Через эту точку и через каждую из сторон равностороннего треугольника АСЕ, полученного соединением чрез одну из вершин верхнего основания*призмы, проведем три плоскости, по которым отрежем от призмы три тетраэдра BACK, DCEH и FEAL и заменим их одним тетраэдром S АСЕ, поставленным над призмой. Новый многогранник будет ограничен сверху тремя ромбами SAKC, SCEH, SEAL; объем его всегда равен объему взятой призмы, где бы ни взять точку S на оси, ибо пирамида SАСЕ составлена из трех пирамид: SOАС,SОСЕ и SOEA, соответственно равным трем отрезанным пирамидам. Так, пирамида SOAC = пирамиде КАВС, ибо они имеют равные основания (ОАС=АВС, как половины ромба АВСО) и равные высоты — SО и KB (по равенству прямоугольников SOI и KBI).
Имея равные объемы, многогранники имеют, однако, различные поверхности, и задача состоит в определении точки S так, чтобы поверхность нового десятигранника имела наименьшую величину.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:227;Задача 69 mathedu.ru)

Задача 70-я. Построение жука-геометра

Вот такого-то рода задачу—постройки эволюты по данной эвольвенте—и решает березовый слоник. На той половине листа, которая потом послужит внутренней трубкой, он выгрызает эволюту краевой линии листа. Если для линии надреза Abcdegiklm построить ее эвольвенту, то эта последняя будет иметь форму кривой ABCDEGIKLxy, весьма близко подходящую к краевой линии листа.
Прорез другой половины листа, которая облекает первую, не отличается такой математической правильностью. Этого и нельзя ожидать, так как вторая половина не свертывается свободно, как первая, а навивается на первую.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.2,1923:234;Задача 70 mathedu.ru)