В траншее залегло 9 солдат. № 1 — унтер-офицер. Ему нужно перебраться на свободное место в левой стороне, но траншея слишком тесна. Вылезть наверх нельзя — неприятель подстрелит. В трёх местах траншеи есть углубления на одного человека. Как должны передвигаться солдаты, чтобы пропустить унтер-офицера на левый фланг, а самим остаться в прежнем порядке на прежних местах?

Стол разграфлён на 6 квадратов; в каждом (кроме одного) — по предмету: 3 чашки, чайник, молочник. Надо обменять чайник и молочник местами, передвигая предметы: 1) только в свободный квадрат; 2) не по диагонали; 3) не поверх другого; 4) не более одного предмета в квадрате. Наименьшее число ходов — больше дюжины, но меньше полутора дюжин.

План гаража на 12 автомобилей; восемь стоят в указанных положениях. Как автомобили 1, 2, 3, 4 переменить местами с 5, 6, 7, 8 при наименьшем числе переездов? Два автомобиля одновременно двигаться не могут, в каждом квадрате — только один автомобиль.

Три брата — Пётр, Павел и Яков — получили три участка земли. Участки расположены неудобно, кратчайшие пути к огородам пересекались, начались ссоры. Братья решили избрать такие три пути, чтобы не пересекать друг другу дорогу. Укажите эти пути.

На оконной занавеске в клетку уселось 9 мух так, что никакие две не были в одном горизонтальном, вертикальном или косом ряду. Затем три мухи переползли в соседние незанятые клетки, а 6 остались. И снова все 9 оказались размещены так же. Какие три мухи пересели и куда?

Вокруг озера — 4 дачи и 4 коровника. Владельцы дач хотят соорудить сплошной забор, чтобы озеро было закрыто от коров, но доступно для дачников. Исполнимо ли это? Как построить забор наименьшей длины?

Царь Горох пожелал построить 10 теремов, соединённых 5 прямыми стенами по 4 терема на каждой. Зодчий представил план, но царь остался недоволен: хотелось, чтобы хотя бы 1–2 терема были защищены от нападения извне. Зодчий возразил, что при 10 теремах по 4 на каждой из 5 линий это невозможно. Но потом решил задачу. Найдите такое расположение.

В саду росло 49 деревьев. Хозяин велел работнику оставить только 5 рядов по 4 дерева, остальные срубить. Работник оставил 10 деревьев, срубив 39 (вместо 29). Приказание было исполнено буквально: 10 деревьев образуют 5 рядов по 4 в каждом. Как он это сделал?

13 мышей, окружающих кошку, обречены попасть ей на обед. Кошка желает съесть их в определённом порядке: каждый раз отсчитывает 13-ю мышь по кругу в том направлении, в каком мыши глядят, и съедает её. Как должна кошка есть, чтобы белая мышь была съедена последней?

Из 18 спичек нетрудно сложить два четырёхугольника так, чтобы один был вдвое больше другого по площади. Сложите из тех же спичек два таких четырёхугольника, чтобы один был втрое больше другого по площади.

В магазин доставили 6 бочек керосину: 15, 16, 18, 19, 20 и 31 ведер. В первый же день два покупателя купили: один — 2 бочки целиком, другой — 3; причём первый купил вдвое меньше керосина, чем второй. Осталась одна бочка. Какая?

В бочке налита вода — повидимому, до половины. Как убедиться точно, наполовину ли она налита, больше или меньше, если нет ни палки, ни вообще инструмента? Втулки бочка не имеет.

Полупустая бочка — то же, что полуполная. Если половины равны, то равны и целые. Значит, пустая бочка равна полной. Почему получился такой нелепый вывод?

Существует ли на свете два человека с одинаковым числом волос? (Не считая совершенно лысых.) А может быть, двое таких отыщется в Петрограде или в Москве?

Книга в переплёте стоит 2 р. 50 коп. Книга на 2 рубля дороже переплёта. Сколько стоит переплёт?

Иванов покупает книги у знакомого книгопродавца со скидкой 20%. С 1-го января цены всех книг повышены на 20%. Будет ли Иванов платить теперь за книги столько, сколько остальные покупатели платили до 1-го января?

На лугу паслись лошади под надзором кучеров. Всех ног — 82, всех голов — 26. Сколько было лошадей и сколько кучеров? (Ни безногих лошадей, ни калек-кучеров не было.)

Отложить на торговых счётах 25 рублей так, чтобы отодвинуть не 7 косточек, как обыкновенно, а ровно 25 косточек.

Собирателю редкостей сообщили, что в Риме при раскопках найдена монета с надписью по-латыни: «53-й год до Р. X.». — «Монета, конечно, поддельная», — ответил собиратель. Как он мог знать это, не видя ни монеты, ни её изображения?

Дама покупает спаржу пучками по 20 см в окружности. Однажды торговец предложил за те же деньги два тонких пучка по 10 см в обхвате. Дама обмерила оба пучка, убедилась, что обхват каждого — 10 см, и заплатила столько же, сколько раньше. Прогадала ли она или выгадала?

Сколько прямоугольников (больших и малых) можно насчитать в этой фигуре (квадрат 5×5, разграфлённый на 25 клеток)?

Всегда ли градус Реомюра больше, чем градус Цельсия?

Шесть плотников и столяр нанялись на работу. Через неделю каждый плотник заработал по 20 рублей; столяр же — на 3 рубля больше, чем заработал в среднем каждый из семерых. Сколько заработал столяр?

Напишите по порядку девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Не меняя порядка, вставьте между ними + и − так, чтобы в сумме получилось 100. Попробуйте получить 100, пользуясь знаками + и − всего только три раза!

В шкафу стоят сочинения Пушкина в 8 томах, том к тому. Червь прогрыз ход от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома. Сколько всего страниц прогрыз червь, если в первом томе 700 страниц, во втором — 640, в третьем — 670?

В рукописи математика было выражение 5⁴2³. Наборщик набрал 54²3. 5⁴2³ = 5000, а не 5423. Ошибка грубая. Можно привести подобный же пример из четырёх цифр, где такая ошибка не отражается на результате. Найдите этот пример.

Хороший стрелок стоит у одного борта парохода, а у противоположного помещена мишень. Пароход движется прямолинейно и равномерно. Стрелок прицелился совершенно точно. Попадёт ли он в цель? Если нет, то по какой причине?

На обыкновенных весах лежат: на одной чашке — булыжник весом ровно 5 фунтов, на другой — железная 5-фунтовая гиря. Я осторожно опустил эти весы под воду. Остались ли чашки в равновесии?

Деревянный куб сделан из двух кусков дерева: верхняя половина куба имеет выступы, входящие в выемки нижней части. Объясните: как ухитрился столяр склепать оба куска?

Вы сидите в вагоне железной дороги и желаете узнать, с какой скоростью он мчится. Можете ли вы это определить по стуку колёс?

Пока вы смотрите на эти две физиономии, держа книгу неподвижно, они не обнаруживают ничего необычайного. Но начните двигать книгу вправо и влево, не переставая смотреть на рисунки. Физиономии словно оживут — начнут двигать зрачками, поворачивая также рот и нос. Отчего это происходит?

Положите рядом три монеты. Выдвиньте среднюю монету вниз настолько, чтобы между нею и каждой из остальных двух был промежуток, равный расстоянию между А и В. Полагайтесь только на глазомер. Ошибка в 1 сантиметр считается вполне верной.

Какая из этих четырёх фигур самая большая и какая самая маленькая? Дайте ответ, полагаясь только на глазомер.

Вы видите три чёрные фигуры. Если измерить их бумажкой или циркулем, какая фигура окажется длиннее? Попробуйте заранее, без измерения, сказать это, а потом проверьте.

Представляете ли вы себе ясно, какой длины окружность копейки? Нарисуйте прямую линию, длина которой равна, по-вашему, окружности копеечной монеты. Проверьте ниткой.

Почему у этих двух человек кривые ноги?

Закрыв один глаз, всматривайтесь другим в белый квадратик, нарисованный в верхней части рисунка. Спустя 10–15 секунд вы заметите нечто совершенно неожиданное.

Фабричная труба заслоняет часть каната, к которому привязан воздушный шар. Но художник, повидимому, ошибся — канат вправо от трубы разве составляет продолжение левой части каната? Исправьте рисунок.

В какую сторону изогнуты линии этого треугольника?

Что длиннее: расстояние между точками А и С или между А и В? Сначала дайте ответ, потом измерьте.

Жестокий правитель не желал никого впускать в свои владения. У моста часовой допрашивал каждого: «Зачем идёшь?» Если путник лгал — его вешали; если говорил правду — топили. Крестьянин дал такой ответ, что стражник не смог ничего с ним поделать. Что ответил крестьянин?

Осуждённый на смерть тянул жребий: в ящике — «Жизнь» и «Смерть». Враги заменили «Жизнь» на «Смерть». Осуждённый, зная о подлоге, просил хранить всё в тайне и уверял, что будет спасён. Утром он вытянул жребий и был отпущен. Как ему это удалось?

Софист Протагор взялся обучить Квантла адвокатскому искусству. Уговор: ученик платит после первой выигранной им тяжбы. Ученик не выступал на суде. Протагор подал в суд. Оба считали тяжбу беспроигрышной для себя. Судья нашёл выход. Каков был приговор?

У Марка Твена в «Простаках за границей»: Блетчер задал обед в Португалии. Счёт: 10 обедов по 600 рейсов = 6000; 25 сигар по 100 = 2500; 11 бутылок вина по 1200 = 13200. Итого 21700 рейсов. «Разорение!» — решил Блетчер. Что означали цифры счёта и как всё разъяснилось?

У К. Фламмариона в «По волнам бесконечности» герой получил послание, написанное не буквами, а знаками. В конце подпись из 6 знаков — «Люмен». Замените знаки буквами и раскройте смысл послания.

У меня 2 родителя, 4 деда, 8 прадедов... К 20-му поколению — 524 288 предков. К началу христианской эры число моих предков должно быть огромным. И у вас, читатель, столько же. Куда же девались все эти люди — для них не хватало места на земном шаре! Укажите выход.

Три брата ждут вагон конки. Старший предложил ждать. Средний — идти вперёд: когда вагон догонит, тогда и вскочат. Младший — идти назад, навстречу: скорее попадётся вагон. Каждый поступил по-своему. Кто раньше приехал домой? Кто поступил благоразумнее?

Можно ли посадить 11 седоков в 10 автомобилей так, чтобы в каждом сидело по одному? Да: 1-го — в 1-й; 11-го — временно туда же; 3-го — во 2-й, ..., 10-го — в 9-й; освободился 10-й — туда 11-го. Но куда же девался один седок?

Разносчик принёс 10-фунтовый пакет масла. Вы хотите купить 5 фунтов. У соседа есть весы, но гирь нет ни у кого. Будь медные деньги — на фунт идёт 50 копеек монетами. Но монеты бумажные. Как отвесить 5 фунтов без гирь?

Вы догадались, как отвесить масло без гирь, но тут выяснилось, что весы очень ненадёжны. Можно ли даже и на неверных весах, без гирь, правильно отвесить 5 фунтов из 10-фунтового пакета?

Флаг с 12 продольными полосами. Пираты потеряли двух пленных и должны перешить флаг так, чтобы полос было 10. Как разрезать флаг на две части и сшить их, чтобы получился флаг с 10 полосами? Ни клочка материи не должно пропасть, форма флага должна сохраниться.

У сестры милосердия был квадратный кусок красной материи. Нужно сшить крест так, чтобы ни один кусок не пропал. Она разрезала квадрат всего на 4 куска и сшила крест с двумя швами, каждый в виде прямой линии. Попробуйте то же из квадратного куска бумаги.

У другой сестры были обрезки красной материи (два треугольника и параллелограмм). Она ухитрилась прямо, не разрезая этих лоскутов, сшить из них крест. Как?

У третьей сестры был готовый красный крест. Она вырезала из него другой, поменьше, из одного куска. Осталось 4 обрезка, из которых можно, не разрезая ни одного лоскутка, сшить ещё один крест точно такой же величины. Как она это сделала?

На знамени изображён британский лев. Разрежьте флаг на 4 части так, чтобы из них можно было составить два квадрата (16 и 9 клеток). Разрез не должен проходить через изображение льва.

Фигура «запятая» построена на прямой АВ: на целой АВ — полукруг, на каждой половине АВ — полукруги. Разрежьте эту фигуру одной кривой линией на две совершенно одинаковые части. Кроме того: как составить круг из двух таких фигур?

Если разрезать картонный куб вдоль рёбер так, чтобы его можно было разогнуть и положить всеми 6 квадратами на стол, получится фигура вроде показанных. Сколько различных фигур можно получить таким путём? Различных фигур не менее десяти.

Составьте квадрат из 5 кусков бумаги указанной формы. Затем — из 5 одинаковых треугольников (один катет вдвое длиннее другого). Можно разрезать один треугольник на две части, остальные 4 — неразрезанными.

На квадратном участке 4 колодца: три рядом близ одного края, один в углу. Участок перешёл 4 владельцам. Разделите его так, чтобы у всех были участки совершенно одинаковой формы и на каждом — колодец.

Квадрат 8×8 разрезаем по косой линии и сдвигаем правую часть на один ряд вверх. Получается прямоугольник 7×9 = 63 квадратика, хотя было 64. Куда девался один квадратик?

Помещик нанял бричку до имения за 25 вёрст. Старик предложил: за 1-ю версту — 1 копейку, за каждую следующую — вдвое больше. Помещик согласился. В результате старик стал владельцем 300-тысячного имения, а помещик — его кучером. Почему?

Машинист задолжал деревенской бабе за молоко. Когда поезд должен был тронуться, баба стала у паровоза: «Отдай долг, иначе не пущу поезд!» Машинист усмехнулся, пустил машину — но паровоз ни с места. Пришлось заплатить. В чём состояло «колдовство» молочницы?

Шмель летел 60 мин прямо на юг, затем 45 мин на запад, затем кратчайшей дорогой домой. На посещение всех кустов крыжовника ушло 1½ часа. Сколько времени шмель был в отсутствии?

У меня есть ящик. Крышка его заключает 120 кв. дюймов, передняя стенка — 96 кв. дюймов, боковая — 80 кв. дюймов. Каковы размеры моего ящика?

Даны два обрывка цепи из одинаковых звеньев. Один, будучи натянут, занимает в длину 36 дюймов, другой — 22 дюйма. Толщина кольца — полдюйма. В длинной цепи на 6 звеньев больше, чем в короткой. Сколько звеньев в каждой?

Мельник взялся взвесить 5 мешков с мукой. Весы не позволяли отвесить груз менее двух пудов. Мешки весили около ½ пуда каждый. Взвешивая по два, он получил 10 разных пар: 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120, 121 фунтов. Как узнать вес каждого мешка в отдельности?

Володя с сестрой Женей: он вдвое старше её. Надя: оба младших вдвое старше младшего. Алёша: оба младших вдвое старше обеих девочек. Лида: ей сегодня 21 год. Три дочери вместе вдвое старше обоих сыновей. Сколько лет каждому?

Внезапно погас свет. Я зажёг две свечи. Одна свеча потолще — могла сгореть в 5 часов; другая потоньше — в 4 часа. Огарки выбросили. Один огарок был в 4 раза длиннее другого. Сколько времени горели свечи?

В пансионе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Каждый мальчик делает поклон учителю, каждому товарищу и каждой девочке; каждая девочка — учителю, каждой подруге и каждому мальчику. Ежедневно утром можно насчитать 900 поклонов. Сколько было мальчиков и девочек?

Раджа, умирая, оставил брильянты сыновьям: старший — 1 брильянт и 1/7 остальных; второй — 2 брильянта и 1/7 остальных; третий — 3 и 1/7 остальных и т.д. Наследство разделено без остатка. Сколько было сыновей и сколько брильянтов?

Существует такое место на земном шаре, которое отовсюду окружено югом. В этом пункте развевается английский флаг. Там вовсе не жарко, даже не тепло. Где эта точка?

Между Нью-Йорком и Сан-Франциско устроено телефонное сообщение. Банки открыты с 10 до 16 часов. В течение скольких часов ежедневно банковские служащие в Нью-Йорке и Сан-Франциско могут вести деловые разговоры?

В Москве полночь — понедельник; на западе — ещё воскресенье; на востоке — уже понедельник. Земля кругла, значит, должна быть граница между воскресеньем и понедельником. Где начинаются дни недели?

Может ли человек состязаться с земным шаром в его суточном движении? Может ли перегнать Землю на быстро мчащемся автомобиле? Может ли человек увидеть солнце восходящим с запада? Прав ли был Кольцов: «Но, увы, не взойдёт Солнце с запада!»?

Посмотрите на пейзаж — закат солнца — и скажите: правильно ли он нарисован? В рисунке есть одна грубая несообразность.

На турецком флаге изображён серп молодого месяца, а между рогами лунного серпа — звезда. Замечаете ли вы крупную несообразность? В чём она?

Где на Земле легче всего живётся? Вопрос похож на задачу-шутку, но на него можно дать разумный и обоснованный ответ. Какой?

На рисунке — тропический ландшафт с лунным серпом у горизонта. Правильно ли нарисована картинка? Нет ли здесь несообразности?

Броненосец водоизмещением 20 000 тонн стоял в Архангельске, прибыл в экваториальные воды. С приближением к экватору тела становятся легче — разница в весе равна 1/1000. Сколько тонн воды будет вытеснять броненосец в экваториальных водах?

На Луне все предметы весят в 6 раз меньше. На лунном озере спущен пароход, который в земных пресноводных озёрах погружается на 18 футов. Как глубоко будет сидеть пароход в лунном озере? Где не умеющий плавать человек скорее утонет?

Мальчик с завязанными глазами безошибочно угадывает, в какой руке у вас двугривенный. Вы берёте в одну руку двугривенный, в другую — пятак. Он просит: удвойте то, что в правой, утройте то, что в левой; сложите; получилось чётное или нечётное? И безошибочно называет, где двугривенный. Почему?

Гость пишет трёхзначное число. Второй приписывает справа то же число (шестизначное). Третий делит на 13 — без остатка. Четвёртый делит на 11 — без остатка. Пятый делит на 7 — без остатка. Хозяин называет задуманное число. Откуда он его знает?

Вы кладёте карту (валет пик) на стол и уверяете собеседника, что он отгадает её. Вы предлагаете выбрать из 4 мастей две, из двух — одну; из 6 карт — три; из трёх — две; из двух — одну. Остаётся валет пик. В чём секрет?

Лента, склеенная в кольцо с двойным перекрутом. Что получится, если разрезать её вдоль посредине?

Лента, закрученная один раз. Что получится, если разрезать вдоль посредине? Результат поразит вас.

На столе 32 спички. Играют двое, поочерёдно берут не более 4 спичек. Кто возьмёт последнюю — выиграл. Как должен играть начинающий, чтобы наверняка выиграть?

То же, но взявший последнюю спичку считается проигравшим. Как играть, чтобы наверняка выиграть?

Играют двое, поочерёдно берут не более 4 спичек. Выигравшим считается тот, у кого по окончании игры окажется чётное число спичек. Как должен играть начинающий, чтобы наверняка выиграть?

То же, но выигравшим считается тот, у кого окажется нечётное число спичек. Каков способ беспроигрышной игры?

Расположите 4 спички так, чтобы получилась римская цифра VII. Теперь перемените положение одной спички — и перед вами будет уже не «семь», а всего только «один». Как?

На рисунке — силуэты двух игроков, склонившихся над биллиардным столом. Каждый силуэт сложен из 7 танграмов. Как эти фигуры сложены?

В оркестре из 7 танграмов сложены: барабанщик, пианист, контрабасист, трубач, рояль и др. Сложите их из танграмов.

Даны 8 силуэтов: петух, паяц, нищий, девушка, корова, кошка, собака, мышь. Как составлены все эти фигуры из 7 танграмов?

Сложите из танграмов 6 силуэтов: барышня на траве, дама у зеркала, голова в шляпе, Наполеон, два краснокожих индейца.

На таблице 20 танграмных силуэтов. Одна фигура изображена неправильно — её невозможно сложить из танграмов. Укажите её.

Два силуэта сложены из одних и тех же танграмов. У одного есть нога, у другого нет. Откуда взялась нога у правой фигуры?

На таблице 24 силуэта (дама у зеркала, дом, янки, свеча, кошка, журавль, автомобиль, кенгуру, всадник, граммофон, яхта, паровоз и др.). Как составлены все эти фигуры?

Какая из всех составленных фигур имеет самую большую площадь? Какая — наименьшую?

Во сколько раз площадь каждой танграмной фигурки меньше площади квадрата, из которого они были вырезаны?

Сложите из танграмов квадрат и разделите его на две такие части, чтобы одна была в 7 раз больше другой по площади.

Лиллипуты установили для Гулливера паёк, достаточный для прокормления 1724 подданных. Соразмерен ли паёк с относительной величиной Гулливера?

Гулливер выпил две бочки вина, но не утолил жажды. Соразмерны ли бочки и вёдра лиллипутов с их ростом?

Пятьсот лошадей было прислано, чтобы отвезти Гулливера в столицу. Не слишком ли это много? Можно ли посадить в карман корову и овец?

Для Гулливера приготовили ложе из 600 тюфяков. Почему постель оказалась жёсткой?

Триста портных-лиллипутов шили Гулливеру платье. Нужна ли такая армия портных?

Лодка Гулливера казалась лиллипутам чудовищным кораблём. Какого она была водоизмещения?

Яблоко величиной с бочонок ударило Гулливера в спину. Орех, немногим меньше тыквы, едва не размозжил ему череп. Сколько могли весить эти плоды?

Королева подарила Гулливеру кольцо с мизинца, которое он носил как ожерелье. Возможно ли это и сколько весило кольцо?

Гулливер читал книги великанов, взбираясь по лестнице. Соразмерны ли описанные размеры книг и лестницы?

Какой номер воротника понадобился бы для жителей страны великанов, если окружность шеи взрослого человека около 40 см?

Из 18 спичек сложить два четырёхугольника так, чтобы площадь одного была втрое больше площади другого.

Оставить пять квадратов, убрав определённое число спичек.

Оставить четыре квадрата, убрав определённое число спичек.

Оставить три квадрата, убрав определённое число спичек.

Оставить два квадрата, убрав определённое число спичек.

Из 12 спичек сложить шесть четырёхугольников.

Из 12 спичек сложить равносторонний шестиугольник.

Из 18 спичек сложить два четырёхугольника так, чтобы площадь одного была втрое больше площади другого.

Из 18 спичек сложить два пятиугольника так, чтобы площадь одного была ровно втрое больше площади другого.

Можно ли 13-ю целыми спичками ограничить шесть одинаковых участков? А 12-ю?

Круглое бревно весит 30 кг. Сколько весило бы оно, если бы было втрое толще, но вдвое короче?

Сто килограммов железных гвоздей уравновешены железными гирями. Весы затопило водой. Сохранилось ли равновесие?

Бутылка с керосином весит 1000 г, с кислотой — 1600 г. Кислота вдвое тяжелее керосина. Сколько весит бутылка?

На одной чашке брусок мыла, на другой 3/4 такого же бруска и 3/4 кг. Весы в равновесии. Сколько весит целый брусок?

4 кошки и 3 котёнка весят 15 кг, а 3 кошки и 4 котёнка — 13 кг. Сколько весят кошка и котёнок порознь?

3 кубика и 1 раковина уравновешиваются 12 бусинами; 1 раковина — 1 кубиком и 8 бусинами. Сколько бусин весит раковина?

3 яблока и 1 груша весят как 10 персиков; 6 персиков и 1 яблоко — как 1 груша. Сколько персиков уравновесят грушу?

Бутылка и стакан уравновешиваются кувшином; бутылка — стаканом и блюдцем; 2 кувшина — 3 блюдцами. Сколько стаканов уравновесят бутылку?

Развесить 2 кг сахарного песку на 200-граммовые пакеты, имея гирю 500 г и молоток 900 г.

Корона весит 10 кг, под водой — 9 1/4 кг. Мастеру было отпущено 8 кг золота и 2 кг серебра. Сколько золота утаил мастер?

Квадратный пруд с дубами по углам нужно расширить вдвое, сохранив квадратную форму и не тронув дубы. Как это сделать?

Паркетчик проверял квадрат, сравнивая длины сторон. Надёжна ли такая проверка?

Паркетчик проверял квадрат по равенству диагоналей. Достаточно ли этого?

Паркетчик убеждался, что все 4 части, на которые диагонали делят друг друга, равны. Доказывает ли это, что перед ним квадрат?

Белошвейка проверяла квадрат, перегибая его по диагонали. Достаточна ли такая проверка?

Другая белошвейка перегибала четырёхугольник по диагонали, затем по другой. Всегда ли это доказывает, что вырезан квадрат?

Пятиугольную доску нужно двумя прямыми разрезами превратить в квадрат. Как это сделать?

Все люди Земли (1,8 млрд) собраны на квадратном участке по 20 человек на 1 м². Оцените размеры квадрата.

Школьник начертил два равных квадрата и заштриховал их. Почему он думал, что они квадраты и равны?

На рисунке с чёрными квадратами появились тёмные пятна в углах. Откуда они взялись?

В 12 часов одна стрелка покрывает другую. Укажите все моменты, когда стрелки встречаются в течение дня.

В 6 часов стрелки направлены в противоположные стороны. Только ли в 6 часов это бывает?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько, на сколько часовая находится впереди XII?

Когда часовая стрелка опережает минутную на столько, на сколько минутная продвинулась вперёд от XII?

Обе стрелки отстоят от цифры VI по обе её стороны одинаково. В котором часу это было?

Часы бьют три, и проходят три секунды. Сколько времени должны употребить часы, чтобы пробить семь?

Карманные часы с 24-часовым циферблатом можно использовать как компас. Как?

Можно ли обыкновенными карманными часами определить страны света?

Почему большинство людей изображают цифру шесть на циферблате своих часов неправильно?

Чем объясняется неравномерный ход часов, когда слышны перерывы в тиканье?

Все горошины из стакана выложены в один ряд. Будет ли этот ряд длиннее обеденного стола?

Если сорвать все листья старого дерева и положить рядом, какой длины будет ряд? Можно ли окружить им большой дом?

Как далеко отошли бы вы, сделав миллион шагов? Больше или меньше 10 километров?

В квадратном метре миллион квадратных миллиметров. Школьник не поверил и решил пересчитать. Убедился ли он?

Какой высоты получился бы столб, если поставить один на другой все миллиметровые кубики из кубического метра?

Сколько кубических ящиков с ребром в 1 км понадобилось бы, чтобы вместить тела всех людей Земли?

Человеческий волос имеет толщину около 1/20 мм. Каким был бы волос, если бы он был в миллион раз толще?

Из 36 полос с частями лица можно составлять портреты. Верно ли, что их получится тысяча?

Сколько различных замков можно изготовить, если каждый стерженёк делится на две части 10-ю способами?

Легенда о награде за изобретение шахмат: 1 зерно за первое поле, 2 за второе, 4 за третье и т.д. Почему награда не могла быть выдана?

Фигура для непрерывного вычерчивания (молоток и серп).

Фигура для непрерывного вычерчивания (звезда в круге).

Фигура для непрерывного вычерчивания (прямоугольник в круге).

Фигура для непрерывного вычерчивания (треугольники в треугольнике).

Фигура для непрерывного вычерчивания (ромбы в прямоугольнике).

Фигура для непрерывного вычерчивания (куб).

Фигура для непрерывного вычерчивания (пересекающиеся окружности).

Фигура для непрерывного вычерчивания (спирали).

Фигура для непрерывного вычерчивания (восьмёрка).

Фигура для непрерывного вычерчивания (цветок).

Доказывает ли круглая форма горизонта, что Земля — шар?

«Рано утром, вечерком, в полдень, на рассвете» — где и когда это возможно?

Голова 7 дюймов; ноги — как голова и половина туловища; туловище — как ноги и голова. Каков рост Езопа?

Пять цепей по три звена нужно соединить в одну. Сколько колец придётся раскрыть?

Выразить число 16 помощью четырёх пятёрок.

Мякоть вишни окружает косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Во сколько раз объём мякоти больше объёма косточки?

Дыня окружностью 72 см стоит 40 руб., окружностью 60 см — 25 руб. Какую выгоднее купить?

Нужно изготовить затычку, которая годилась бы для квадратного, круглого и крестообразного отверстий.

Модель Эйфелевой башни весит 1 кг. Какой она высоты?

Муха ползла по ленте и перешла с красной стороны на белую, не переползая через край. Как это возможно?

Двое считали прохожих: один стоял у ворот, другой ходил по тротуару. Кто насчитал больше?

Сын моложе меня втрое. Пять лет назад он был моложе вчетверо. Сколько ему лет?

Две лодки: одна шла весь путь со скоростью 20 вёрст/ч, другая туда — 16, обратно — 24. Какая победила?

Гребец проплывает 5 вёрст по течению за 10 минут, против — за час. Сколько времени он проплывёт 10 вёрст в стоячей воде?

Пароход по течению делает 20 вёрст/ч, против — 15. На путь туда уходит на 5 часов меньше. Каково расстояние?

Сварено 5 яиц: 2 вкрутую и 3 всмятку. Вы наудачу берёте два. Стоит ли биться о заклад 1 рубль против 5, что оба крутые?

Пётр бьётся, что при 4 бросках кости единица выпадет ровно один раз. Владимир — что ни разу или больше одного. У кого больше шансов?

Семеро друзей посещают хозяина: первый — каждый вечер, второй — каждый второй и т.д. Часто ли все собираются вместе?

Семеро друзей чокаются попарно. Сколько раз звучали стаканы?

Дидона разрезала воловью шкуру на ремешки шириной 1 мм. Какую площадь она могла охватить?

Какая из двух дуг кривее?

Какая из трёх бумажных полосок самая длинная?

У которого из двух кораблей палуба длиннее?

Где середина высоты треугольника?

Равны ли два прямоугольника, пересечённые прямой?

Квадрат ли прямоугольник, описанный около шляпы?

Куда упрётся прямая ab, если её продолжить: выше или ниже точки c?

Какая из линий ab, cd или ef самая длинная?

Поместится ли кружок в промежутке между AB и CD?

Какой из двух заштрихованных кружков больше?

Описание в OCR отсутствует.

В середине трех сторон четыреугольного незастроенного участка имеются ворота. Где внутри двора находится место, одинаково удаленное от всех ворот?

Решение. Искомая точка лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим ворота (или на пересечении биссектрис углов, образованных этими отрезками).

При так называемой фигурной пахоте плугом пахарь проводит борозды вдоль межников поля, начиная пахать с краев участка. Можете ли вы приблизительно указать заранее то место внутри треугольного полевого клина, где фигурная пахота должна окончиться?

Решение. Так как отваливаемые пласты одинаковой ширины, то пахота должна окончиться в точке, одинаково удаленной от сторон треугольника.

Громоотвод защищает от молнии все предметы, расположенные от его основания не далее его двойной высоты. Где на треугольном участке выгоднее всего поместить громоотвод, чтобы высоту его можно было сделать наименьшею?

Ответ: в центре описанного круга.

Вдоль трех сторон многоугольного участка течет канава. Как найти внутри участка место, одинаково удаленное от воды?

Ответ: искомая точка лежит на пересечении биссектрис двух углов, составляемых направлениями частей канавы.

Желая проверить, имеет ли отрезанный кусок материи форму квадрата, швея убеждается, что при перегибании по диагоналям края обеих частей совпадают. Достаточна ли такая проверка?

Решение. Убеждает лишь в том, что фигура есть четыреугольник, симметричный относительно обеих диагоналей, — а такой симметрией обладает не только квадрат, но и ромб. (Так как указанное заблуждение очень распространено, то полезно выяснить его наглядно, вырезав из бумаги соответствующую фигуру, а также рассмотреть вопрос, какие дополнительные измерения были бы достаточны, чтобы установить квадратную форму вырезанного куска; предполагается, что углов измерить нельзя).

Переплетчик для проверки того, имеет ли вырезанный из картона четыреугольник прямые углы, убеждается, что диагонали его равны. Достаточна ли такая проверка?

Ответ: недостаточна (начертить четыреугольник с равными диагоналями, но не имеющий прямых углов; какие нужны дополнительные измерения, если не измерять углов?).

Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четыреугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали его равны и встречаются под прямым углом. Достаточна ли такая проверка?

Ответ: недостаточна (начертить четыреугольник с равными взаимно-перпендикулярными диагоналями, не имеющий прямых углов; какие нужны дополнительные измерения?).

Какова приблизительно толщина дерева «в два обхвата»?

Решение. Средняя длина «обхвата», т.-е. расстояния между концами пальцев расставленных рук, приблизительно равна средней высоте человеческого роста — 1¾ метра. Два обхвата — 3½ метра — есть длина окружности, диаметр которой легко найти: 7 : 22 × 3½ = около 110 см, или 1½ аршина.

Стакан вплотную обставлен соприкасающимися с ним и между собою стаканами такой же величины. Сколько их?

Решение. Из чертежа 1 видно, что прямые, соединяющие центры среднего и двух соседних соприкасающихся с ним стаканов, образуют равносторонний треугольник (учащиеся должны это доказать). Следовательно, угол α = 60° и, значит, вокруг его вершины помещается 360°/60° = 6 таких углов. Отсюда число окружающих стаканов — 6.

Чтобы горячий чай остыл быстрее, его переливают в блюдце. Во сколько раз увеличивается при этом свободная поверхность чая?

Решение. Учащиеся должны сами избрать подходящие размеры диаметров окружностей стакана и блюдца. Поверхность увеличивается в отношении квадратов этих диаметров. Если верхний диаметр блюдца — 25 см (чай налит до краев), а стакана — 7 см, то отношение свободных поверхностей — 144 : 49 = около 3.

Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?

Решение. На то, что объем яблока при печении уменьшается, кожура же сохраняет прежние размеры. Сделать примерный расчет: вычислить, какой избыток кожуры получается, когда яблоко диаметром 8 см уменьшается (вследствие потери воды при нагревании) на 4 миллиметра по диаметру. 4π·40² — 4π·38² = 4π(40² — 38²) = 4π·78·2 = 1961 кв. мм или около 20 кв. см. Следовательно, общая поверхность всех морщин печеного яблока, при указанных размерах, равна 20 кв. см.

Имеются два цилиндрических бревна. Одно 4 вершка в толщину и 1½ аршина в длину. Другое на вершок толще, но на пол-аршина короче. Какое больше в объеме?

Решение. Толстое бревно имеет площадь сечения в 5²/4², т.-е. в 25/16 больше, чем у тонкого; длина же его меньше всего в 1½ раза; следовательно оно в объеме больше (на 4% с небольшим). — Задача допускает много вариантов.

Во сколько раз объем мясистой части вишни больше объема косточки? Толщину слоя мякоти принять равной ширине косточки.

Решение. Так как диаметр вишни втрое больше диаметра косточки (то и другое принимают за шары), то объем вишни больше объема косточки в 27 раз, а объем мякоти больше объема косточки в 26 раз. Значит, объем косточки составляет 1/26, т.-е. 4% объема мякоти.

Какие яйца выгоднее покупать: 60-миллиметровые (длина) по 1 рублю или 55-миллиметровые по 75 копеек?

Решение. Объем меньшего яйца (т.-е. количество питательных веществ в нем), считая форму обоих яиц одинаковою, меньше объема крупного яйца в отношении 55³ : 60³ = 1331 : 1728 = 0,71. Следовательно, меньшие яйца должны были бы продаваться по цене 71 коп., а не 75 коп. Крупные яйца в данном случае дешевле.

Размеры обиходных предметов. — Колодец; книга; тело взрослого человека. С. 25. — pdf 25

При постройке кровель, мостов, подъемных кранов и т. п. сооружений скрепляют опорные брусья или балки так, чтобы они образовали систему треугольников. Почему такое расположение балок лучше обеспечивает неизменность формы сооружения, нежели иное?

Решение. Балки таких сооружений сами по себе почти не поддаются ни растяжению, ни сокращению длины. Возможно было бы лишь изменение углов их взаимного наклонения. Но с тремя сторонами данной длины может существовать только один треугольник; поэтому при неизменной длине балок, скрепленных в форме треугольника, углы, составленные ими, должны оставаться неизменными. Отсюда — постоянство формы всего сооружения, составленного из треугольников.

Окружная (линейная) скорость точильного камня не должна, при правильной работе, превышать 44 фута в сек. Определить наибольшее допустимое число оборотов в минуту для точильного камня, имеющего в диаметре 3 фута.

Решение. Окружность камня 3 × 22/7 фут. Деля минутную наибольшую скорость 44 × 60 фут. на длину окружности, получаем число оборотов в минуту: (44 × 60) / (3 × 22/7) = 280.

Почему передняя ось телеги обыкновенно больше стирается и чаще загорается, нежели задняя?

Решение. Так как окружность передних колес меньше, то на одном и том же пути меньшее (переднее) колесо делает больше оборотов. Отсюда большее изнашивание передней оси. (При случае — получить данные о размерах колес и сделать соответствующее вычисление).

Наклон почвы не замечается нами, если высота подъема не превышает 1/24 его основания («заложения»). Сколько приблизительно градусов в угле такого наклона?

Решение. Длину меньшего катета весьма вытянутого прямоугольного треугольника, получающегося при этом, можно без ощутительной погрешности приравнять длине дуги, описанной радиусом, равным другому катету. Задача сводится, следовательно, к вычислению числа градусов дуги, длина которой равна 1/24 длины радиуса. Из пропорции: x : 360 = (r/24) : 2πr имеем x = 360/(24·2π) = около 2,4°.

Для русских железных дорог принят предельный уклон в 0,008. Для Закавказской железной дороги допущены, в виде исключения, уклоны до 0,025. Каким углам, в градусной мере, соответствуют эти уклоны?

Ответ: около ½° и 1½°.

Можно ли из бревна толщиною в узком конце 9½ дюймов выпилить квадратный остро-кантный (т.-е. без притупленных углов, «обливин») брус в 7 дюймов ширины?

Решение. Диаметр круга, описанного около квадратного сечения требуемого бруса, равен √(7² + 7²) = 9,89. Следовательно, из бревна диаметром в 9,5 дюймов такого бруса вырезать нельзя.

Обширные огородные площади часто засаживаются без грядок, сплошь, так чтобы растения размещались либо на вершинах равносторонних треугольников («сам-третей»), либо на вершинах квадратов. Какая посадка гуще (оценить разницу в 0/0), если взаимное расстояние между растениями в обоих случаях одинаково?

Решение. Эту интересную и нелегкую задачу проще всего решать так. Рассмотрим сначала треугольное расположение. Каждое из трех растений, находящихся на вершине одного треугольника, пользуется 1/3 площади этого треугольника. Но так как одно растение принадлежит одновременно 6-ти треугольникам, то на каждое растение приходится 1/3 площади 6-ти треугольников, т.-е. двойная площадь одного треугольника. Обозначив расстояние между растениями через а, имеем для площади одного равностороннего треугольника выражение ¼ a²√3, а для двойной площади ½ a²√3.

Прилагая такие же рассуждения к случаю квадратного расположения, узнаем, что на каждое растение приходится при этом площадь целого квадрата со стороною а (1/4 площади 4-х квадратов), т.-е. а².

Теперь легко вычислить, что в первом случае на данной площади помещается растений больше в отношении (обратное отношение площадей):

a² : ½ a²√3 = 2 : √3,

т.-е. 1,15 — на 15% больше. Следовательно, при треугольном расположении посев гуще, чем при квадратном, на 15%.

Длина хорды, стягивающей дугу железнодорожного закругления, равна 100 м. «Стрелка» дуги (т.-е. высота соответствующего сегмента) равна 2,5 метра. Найти радиус закругления.

Решение. Из чертежа 3 видно, что можно вычислить диаметр (2R) дуги, пользуясь тем, что произведения отрезков пересекающихся хорд равны. Из равенства

2,5 (2R — 2,5) = 50·50

имеем 2,5R — 6,25 = 2500, откуда R = 51,25.

Может ли латунная проволока в 2,5 миллиметра толщины выдержать груз в 10 пудов, если предельная нагрузка при растяжении для латуни составляет 400 пуд. на кв. см?

Решение. Площадь сечения проволоки = ¼ π · 2,5² = 4,9 кв. мм. Предельная нагрузка на 1 кв. мм — 4 пуда; проволока указанной толщины разрывается лишь при нагрузке 20 пудов и, следовательно, вполне может выдержать груз в 10 пудов.

При какой длине латунная проволока разрывается собственным весом? Куб. см латуни весит 9 граммов.

Решение. Обозначив искомую длину через x, а площадь сечения через b, имеем (принимая 1 пуд = 16000 граммов):

bx · 9 = b · 400 · 16000.

Откуда, по сокращении на b, находим x = около 7100 метров. Значит, свободно подвешенная за один конец латунная проволока длиною 7 верст разрывается собственным весом.

Согласно русских дорожных правил, щебень на шоссейных дорогах должен укладываться в конические кучи следующих размеров… Определить объем таких куч.

Ответ: ½ куб. саж., ¼ куб. саж. и ⅛ куб. саж.

Уменьшенная деревянная модель проектируемого железного сооружения имеет в высоту 20 см и весит 240 граммов. Сооружение должно иметь в высоту 30 метров. Определить вес сооружения. Железо тяжеле дерева в 16 раз.

Решение. Сооружение имеет линейные размеры в 3000:20, т.-е. в 150 раз большие, чем у модели, и следовательно, объем его больше объема модели в 150³ раз. Отсюда вес проектируемого сооружения 240 × 150³ × 16 = 12939000000 граммов = около 13000 тонн.

В цилиндре паровой машины пар давит на поршень с силою 80 фунтов на каждый квадрад. дюйм. Диаметр поршня — 14 дюйм. Толщина штока поршня — 1/4 дюйма. Как велико полное давление пара на поршень?

Решение. Задача, очевидно, сводится к вычислению площади кругового кольца, внешний радиус которого 7 дюймов, а внутренний 3/8 дюйма, и к умножению этой площади на 80.

На практике объем бревен часто определяют следующим упрощенным приемом: измеряют в дюймах диаметр бревна посредине, возводят это число в квадрат, умножают на боковую длину бревна в футах и результат делят на число 183. Получается объем в футах. Проверить этот прием.

Решение. Обозначив диаметр бревна в дюймах через d, а длину в футах через l, имеем для объема в футах выражения:

по 1-му способу: d²l / 183

по 2-му способу: (π d² l) / (4 · 12²)

Разделив первое выражение на второе, получаем, что отношение их = 576 / (183π) = 576 / 574,91 = 1,0017.

Следовательно, упрощенный прием дает ничтожное преувеличение (менее, чем на 0,2%).

Жестянники и столяры нередко пользуются следующим приемом для определения длины окружности: откладывают на прямой 6 раз радиус данной окружности и прибавляют высоту меньшего сегмента, отрезаемого стороной вписанного квадрата. Проверить этот прием.

Решение. Длина окружности получается при этом равной 6r + (r — r√2/2) = 7r — 0,707r = 6,293r, — вместо 6,284. Относительная погрешность (0,009 / 6,284) менее 1/7%, т.-е. практически ничтожна.

Из всех брусьев, какие возможно вырезать из данного бревна, наибольшей прочностью отличается тот, у которого отношение сторон прямоугольного сечения = 1 : √2. На практике профиль такого бруса получают следующим образом: делят диаметр бревна на три равные части и в точках деления восставляют, в противоположные стороны, перпендикуляры до пересечения с окружностью; последние точки соединяют с концами диаметра. Доказать: 1) что при этом получается прямоугольник, 2) что стороны его относятся, как 1 : √2.

Решение. (Приводится геометрическое доказательство, основанное на свойствах окружности и подобии треугольников; опущено для краткости.)

В балке наибольшей жесткости (дюймовой наибольший прогиб), какую можно вырезать из длинного бревна, стороны прямоугольного сечения должны относиться, как 1 к √3. Указать практический способ получения такого профиля.

Решение. (Аналогично задаче 31; практический способ основан на делении диаметра на 4 части и построении перпендикуляров.)

Для быстрого определения радиуса закругления уложенного рельсового пути проводят касательную к внутреннему рельсу и измеряют длину отрезка этой касательной, заключающегося между точками ее пересечения с наружным рельсом. Половину этой длины возвышают в квадрат и делят на ширину колеи (0,714 саж.). Результат дает диаметр дуги закругления в саженях. Проверить это правило.

Решение. Отрезок касательной ВС есть хорда окружности закругления наружного рельса. Произведение ее отрезков, т.-е. АВ² равно произведению стрелки АД на остальную часть диаметра. Но так как диаметр закругления весьма велик по сравнению с длиною АД, то эту часть диаметра можно считать равной всему диаметру (d). Итак АВ² = АД · d, откуда d = AB² / 0,714.

Таким образом, указанный прием дает верный результат, если разность d — 0,714 мало отличается от d. В действительности диаметр d закругления на наших железных дорогах не допускается меньше 400 сажен, так что d — 0,714 отличается от d менее чем на 0,2%. Так как в рассматриваемом случае мы пренебрегаем квадратом этой величины, то прием можно признать практически достаточно точным.

По той же формуле можно вычислить расстояние Mm, Nn точек дуги от касательной, проведенной через середину D дуги. Это дает практический способ разбивки закруглений.

Решение. Именно:

Mm = Dm₁ = (mm₁²) / (2R)

Nn = Dn₁ = (nn₁²) / (2R),

при условии, что отрезки Mm, Nn невелики по сравнению с радиусом. Это дает практический способ разбивки закруглений, т.-е. разметки на местности ряда точек n, m и т. д., через которые должна пройти дуга закругления.

Ниже приведены некоторые выдержки из таблицы для определения радиуса железнодорожного закругления по хорде и стрелке. Требуется проверить данные и заполнить места, обозначенные знаками вопроса.

Решение. Рассмотрим, например, 4-ю строку. При хорде 10 саж. и стрелке 0,042 саж.; диаметр закругления определяется из уравнения

(2R — 0,042) · 0,042 = 5²,

откуда 2R = 25/0,042 — 0,042 = 595.

Следовательно, вычисленный радиус закругления, 297,5, весьма близок к табличному числу (300). Полного согласия нельзя ожидать, так как таблица дает слишком мало десятичных знаков. — Проверка и пополнение остальных строк производится тем же способом (можно пользоваться и упрощенной формулой зад. № 33).

Сходный материал для упражнений доставляет таблица для разбивки закруглений помощью перпендикуляров к касательной (см. зад. № 34). Требуется проверить, правильны ли данные этой таблицы.

Решение. Проверку удобнее всего производить по формуле зад. № 33, которая в данном случае примет такой вид:

ордината = (квадрат расст. по касательной) / (диаметр круга).

Упражнения подобного рода полезны еще и в том отношении, что приучают более сознательно пользоваться разного рода таблицами.

Таблицы удельного веса. — Прочность материалов. Вес квадратного и круглого железа. — Вес медной проволоки. — Кровельные работы. — Заводские трубы. — Печи. — Русские железные дороги. — Количество семян на десятину и урожайность. — Число саженцев на десятину. С. 41—51. — pdf 41

Какого диаметра должен быть глобус, чтобы одна минута его меридиана равнялась 1 миллиметру? Во сколько раз его диаметр меньше диаметра Земли?

Решение. 360 · 60 : 2π = 6879. Искомый диаметр = 6,88 метра.

Другое решение. Так как минута меридиана (морская миля) = 1852 метрам (вычисляю из того, что метр = 40-миллионной доле меридиана), то диаметр нашего глобуса меньше диаметра земного шара в 1852000 раз.

Землетрясение распространяется по земной поверхности со скоростью до 800 метров в секунду. Какую площадь может охватить землетрясение через 1 минуту после своего возникновения (кривизну земной поверхности в расчет не принимать).

Решение. π(800·60)² = 7235 кв. километров.

«Относительным развитием береговой линии» материка или острова называется в географии отношение длины береговой линии к длине окружности круга, равновеликого данному материку или острову. — Определить относительное развитие береговой линии Австралии; длина ее береговой линии — 20 000 км, площадь — 7 600 000 кв. километров.

Ответ: почти 2.

Определить относительное развитие береговой линии Европейско-Азиатского материка (см. пред. задачу). Береговая линия его 108 000 км., площадь — 50 700 000 кв. км.

Ответ: 4,2.

Две точки поверхности Великого океана, лежащие на экваторе в 60° одна от другой, соединены прямой линией. Проходит ли эта линия целиком в воде, или частью расположена под дном океана? (Наибольшая глубина Великого океана не превосходит 10 км). Какую форму имеет в общем дно этого океана — вогнутую, плоскую или выпуклую? Радиус земного шара 6400 км.

Решение. Первая часть задачи сводится к вычислению стрелки дуги в 60° при радиусе 6 400 км, т.-е. к определению разности между радиусами круга: описанного около 6-угольника и вписанного в него: ½ r(2 — √3) = 0,134 r = 857,6 км. Следовательно, наиболее глубокая часть нашей хорды залегает на сотни верст глубже дна океана. Отсюда само собою вытекает, что дно океана должно иметь выпуклую форму.

Какова форма дна — выпуклая или вогнутая — у моря, простирающегося по меридиану (или по дуге большого круга) на 5° и имеющего равномерную глубину 200 метров? (Длину хорды, стягивающую дугу в 5°, можно для приближенных вычислений принять равной длине дуги). — Каково должно быть протяжение моря по меридиану, чтобы, имея наибольшую глубину посередине в 100 метров, оно могло иметь плоское дно?

Решение. Прежде всего надо показать, что длину хорды, стягивающей дугу в 5°, можно без ощутительной погрешности принять равной длине соответствующей дуги. В таблицах можно найти длину хорды в 5° при радиусе, равном 1-це: она составляет 0,0872 радиуса. Длина же дуги в 5°, по вычислению, равна 0,0873 радиуса. Разница (1/872 = 0,11%) настолько мала, что в расчетах, подобных нашему, можно ею пренебречь.

Приступая затем к решению задачи (первый вопрос), вычислим, как низко залегала бы под свободной поверхностью воды самая глубокая точка морского дна, если бы дно это было плоско, — т.-е. вычислим стрелку дуги земного меридиана в 5°. Так как длина соответствующей хорды составляет 0,087 земного радиуса (6 400 км), т.-е. равна 556,8 км, то стрелка равна 278,4² : 12 800 = около 6 км (вычисляем по формуле задачи № 33). Зная, что рассматриваемое море имеет равномерную глубину в 200 метров, заключаем, что дно его в средней части значительно возвышается над прямой линией, соединяющей его края, т.-е. что оно выпукло.

Ответ на второй вопрос задачи получается из формулы

x² = 100 (12 800 000 — 100);

откуда x = около 36 км.

При большем протяжении моря по меридиану (или вообще по дуге большого круга) дно его должно быть выпуклым.

Подобными приемами можно проверить следующие данные («Курс физической географии» проф. П. И. Броунова): «Ширина Черного моря, между южной оконечностью Крыма и Инеболи в Малой Азии, 2°10'; чтобы дно здесь было плоским, необходимо, чтобы наибольшая глубина была 2 628 метров. В действительности же она на этом меридиане 2 240 метров. Следовательно, между Крымом и Малой Азией дно Черного моря почти плоское, едва выпуклое. Даже такие глубокие моря, как Сулу [730 метров] и Целебесское [1 640 м] имеют выпуклое дно. Ширина Па-де-Кале 32 километра [соответствующая дуга — 18']; дно пролива было бы плоским при глубине 19 метров, но последняя 62 метра, следовательно оно вогнутое».

Решение. (Проверка приведённых данных аналогична предыдущим задачам.)

Вычислить наибольшее возвышение водной выпуклости озера над линией, соединяющей две противоположные точки берега, расположенные в расстоянии 130 км друг от друга (устья Вуоксы и Олонки на Ладожском озере).

Ответ: 325 метров (выше Эйфелевой башни).

Средняя глубина всех океанов—4 километра. Зная, что океаны покрывают 70% общей поверхности земного шара, найти объем всей воды океанов.

Решение. Исходя из определения метра (40-миллионная доля меридиана) имеем, что радиус земного шара = 40000/(2π) км, а общая поверхность 4π(40000/(2π))² = 508 800 000 кв. км. 70% этого числа, т.-е. 356 160 000, умножаем на 4 и получаем искомый объем: 1 424 640 000 куб. км.

Какого диаметра шар образовался бы из воды всех океанов?

Ответ: около 650 км.

Во время землетрясений измеряют помощью особых приборов тот угол, под которым в данном месте подземный толчок встретил горизонтальную поверхность земли («угол выхождения»). Допустим, что в некотором случае этот угол равнялся 30°, а место вершины угла было удалено на 300 километров от того места на земной поверхности, где землетрясение началось раньше всего (оно называется «эпицентром»). Определите, как глубоко под земной поверхностью залегает тот очаг, из которого исходили в указанном случае подземные толчки.

Решение. Обозначив (черт. 11) вершину угла в 30° через В, эпицентр — через А, а очаг — через С, имеем, что искомая глубина залегания очага AC = x = BC/2.

По теореме Пифагора,

300² + x² = 4x²,

откуда

x = √30000 = 173,2 километра.

Туннель прорыт по прямой линии и имеет в длину 15 километров (Симплонский — 20 километров). Вычислить глубину залегания его средней точки под горизонтальной линией, проведенной через его концы.

Решение. Глубина залегания CD (черт. 12) вычисляется из равенства:

CD = DB² / (2R) = 7,5² / 12800 = около 44 метров.

(Текст в OCR отсутствует, но решение на с. 60).

Решение. (См. с. 60 PDF.)

(Текст в OCR отсутствует, но решение на с. 60).

Решение. Объем капли = 1/6 π · 0,5³ = 1/6 · 3,14 · 0,125 = 0,065 куб. мм. Вес такой капли 0,065 миллиграмма. Искомое число капель получим делением 0,75 граммов на 0,065 мг. Имеем 11 000 капель.

«Порозность (скважность) почв является результатом неплотного прилегания частиц почвы друг к другу, вследствие чего между ними остаются большей или меньшей величины промежутки, или поры… Вычислить, какой процент общего объема почвы должен составлять объем пор при наиболее рыхлом сложении?

Решение. Задача сводится к вычислению отношения объема шара к объему описанного куба; искомая величина будет найдена вычитанием этого отношения из 1-цы:

1/6 π d³ : d³ = π/6; 1 — π/6 = 1 — 0,524 = 0,476 = 47,6%.

Земля. — Части света и океаны. — Развитие береговой линии. — Высота гор. — Озера. — Некоторые расстояния. С. 61—67. — pdf 61

Земля и Марс обращаются вокруг Солнца по почти круговым путям на расстоянии 150 и 230 миллионов километров. Во сколько раз при наибольшем приближении к Земле Марс ближе к нам, чем при наибольшем его удалении от нас?

Решение. 380 : 80 = 4,8. Результат лишь приблизительно верен, так как в действительности орбиты планет не круги, а эллипсы, имеющие общий фокус.

В связи с этим можно поставить вопрос о пределах видимой величины диска Марса, зная, что истинный диаметр этой планеты равен 0,54 земного.

Решение. Так как видимая величина диска планеты есть угол, под которым виден этот диск с Земли, то задача сводится к вычислению центрального угла дуги в 6900 километров (диаметр Марса) при радиусе 80000000 и 380000000 км. Получающиеся результаты 18" и 3,8" верны не вполне, особенно первый, так как в действительности, вследствие эллиптичности орбит, Марс в ближайшем к Земле положении находится от нее не в 80, а в 60 миллионах километров (и тогда для наибольшей видимой величины получается 26").

Юпитер обращается вокруг Солнца на большем от него расстоянии, нежели Земля. Диск этой планеты виден с Земли под углом, который, в зависимости от положения Юпитера, изменяется от 46" до 31". Во сколько раз Юпитер дальше от Солнца, нежели Земля?

Решение. Обозначив расстояние Земли от Солнца через х, а Юпитера через у, и принимая во внимание, что угловая величина предмета обратно пропорциональна его расстоянию от наблюдателя, составляем пропорцию:

(y + x) / (y — x) = 46/31;

откуда, пользуясь свойством производных пропорций, имеем:

2y / 2x = (46 + 31) / (46 — 31);

значит, искомое отношение y/x = 77/15 = 5,1.

Астрономами определен (косвенными приемами) угол, под которым земной шар должен усматриваться с Солнца: он оказался равным 17,6". Принимая диаметр Земли равным 12 800 км, вычислить среднее расстояние от Земли до Солнца.

Решение. Длина дуги в 12 800 км, заключающей 17,6", соответствует длине полной окружности в

12800 · 60 · 60 · 360 / 17,6

откуда радиус этой дуги (т.-е. искомое среднее расстояние) равно

12800 · 60 · 60 · 360 / (17,6 · 2π) = около 146 миллионов км.

Более точный результат 149500000 км получается, если выполнить вычисление, взяв для диаметра Земли — 12740 км.

Диск Солнца усматривается с Земли в среднем под углом в 32". Зная расстояние Земли от Солнца - 150 миллионов километров - вычислить величину истинного диаметра Солнца.

Решение. Вопрос сводится к вычислению длины дуги в 32" при радиусе в 150000000 км. Полная окружность такого радиуса — 2π · 150000000, а дуга в 32" = 2π · 150000000 · 32 / (360·60·60) = 1390000 км.

Отсюда нетрудно определить также поверхность и объем Солнца.

Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 109 раз. Среднее расстояние от Земли до Солнца 150000000 километров. Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром.

Решение. Длину СЕ конуса земной тени, считая от центра Земли (черт. 13), находим из пропорции:

СЕ / CS = ВЕ / АС = 1 / 109.

Обозначим СЕ через х; тогда CS = CE + ES = х + 150000000. Следовательно, пропорция принимает вид

х / (150000000 + х) = 1/109,

откуда

х = 150000000 / 108 = 1388000.

Итак, длина земной тени, считая от центра Земли, 1 388 000 километров.

Определить ширину земной тени в том месте, где в моменты затмений в нее вступает Луна. Луна обращается вокруг Земли на среднем расстоянии 380 000 километров от центра Земли.

Решение. Обозначив искомую ширину MN тени через х и принимая диаметр Земли равным 12 700 км (угол BEF весьма близок к 180° — почему?), имеем пропорцию:

х / 12700 = (EC — EO) / EC = (1388000 — 380000) / 1388000,

откуда х = 9400 км.

Так как диаметр Луны = 3 500 км, то ширина полной тени раза в 2½ более ширины Луны, и последняя может погрузиться в нее целиком. Зная, что Луна совершает полный оборот в 27⅓ суток, нетрудно вычислить и среднюю продолжительность полной фазы лунного затмения, т.-е. время пребывания Луны в полной тени (2¾ часа).

Каков диаметр планеты (астероида), поверхность которой равна поверхности Петрограда (91 кв. километров).

Ответ: 5,39 км.

Во сколько раз Солнце по объему превосходит объемы всех планет, вместе взятых? Диаметр Меркурия составляет 0,4 земного, Венеры — равен земному, Марса — 0,5, Юпитера — в 11 раз больше земного, Сатурна в 9 раз больше, Урана — в 5 раз больше, Нептуна в 4 раза больше, а Солнца — в 109 раз больше.

Ответ: в 578 раз.

Известно около 1000 малых планет (астероидов), обращающихся между Марсом и Юпитером. Высказывалось предположение, что все они появились в результате разрушения одной планеты. Вычислить диаметр этой предполагаемой планеты, принимая, что средний диаметр астероидов — 50 км и что нам известна только десятая часть всех существующих астероидов.

Решение. Шар, объем которого в 10000 раз больше объема шара с диаметром 50 км, должен иметь диаметр в ∛10000 раз больше, т.-е. 50 · 21,54 = 1 077 километров (в 3½ раза меньше лунного).

Вообразим, что земной шар вытянут в цилиндрическую нить длиною от Земли до Солнца. Какой толщины была бы эта нить?

Решение. Ответ — для большинства неожиданный — получается из уравнения:

¼ π x² · 150000000 = 1/6 π 12700³,

откуда x = 95,25 км. Нить имела бы в толщину около 100 верст!

Солнце. — Луна. — Спутники Юпитера и Марса. — Планеты. Расстояния звезд. С. 75—78. — pdf 75

Дирижабль обладает в спокойном воздухе скоростью 100 км в час. Начертить границы области, точки которой могут быть достигнуты дирижаблем в течении часа при скорости ветра: 1) в 60 километров в час; 2) 100 километров, 3) 150 километров.

Решение. Если точку отправления обозначим через О (см. черт. 14), то область, доступная ему в течение первого часа в спокойном воздухе, будет круг, описанный из центра О радиусом 100 км. При ветре все точки окружности этого круга переместятся по направлению ветра на величину, равную скорости ветра. Если, напр., в спокойном воздухе дирижабль через час может достигнуть точки А (черт. 14), то при ветре скоростью 60 км он будет отнесен к точке А₁. Геометрическое место всех таких точек будет также окружность, описанная радиусом 100 км из точки О₁, отстоящей от О на 60 км.

Поэтому в первом случае доступная область ограничена кругом (черт. 14), центр которого находится в 60 километрах от точки вылета в направлении ветра; радиус круга — 100 км. Во втором случае — кругом того же радиуса, имеющим центр в 100 км от точки вылета в направлении ветра (черт. 15). В этом случае граница доступной области проходит через точку отправления О. Чтобы получить границы доступной области в третьем случае, отложим от точки отправления О (черт. 16) отрезок OO₁ в 150 километров и из точки О₁ опишем окружность радиусом 100 км; из точки О проведем к ней касательные. Доступная область ограничена этими касательными и большей дугой круга между точками касания.

Какую форму имеют волны от брошенного камня в текучей воде?

Ответ: форму кругов (а не овалов, как может казаться с первого взгляда).

Уровень с воздушным пузырьком представляет собою вделанную в оправу стеклянную трубку, изогнутую по дуге круга и наполненную жидкостью; в ней оставляется пузырек воздуха, который, при горизонтальном положении основания уровня, занимает высшую точку трубки, т.-е. ее середину. Если радиус дуги, по которой изогнута трубка, равен 2 метрам, то насколько отодвинется пузырек от середины при наклонении прибора 1/2°?

Решение. На черт. 18 MAN есть первоначальное положение дуги уровня, M₁BN₁ — новое, при чем хорда M₁N₁ составляет с хордой MN угол в 1/2°. Пузырек, бывший раньше в точке А, теперь остался в той же точке, но середина дуги MN переместилась в В. Требуется вычислить длину дуги АВ, если радиус ее равен 2 метрам, а величина в градусной мере — 1/2° (это следует из равенства острых углов с перпендикулярными сторонами). Искомая дуга равна

2π·2 / (360·2) = 17,4 миллиметра.

Результат показывает, что уровень с таким радиусом кривизны был бы чрезвычайно чувствителен.

Лесная поляна имеет форму ромба. В какой точке на ней нужно поместиться, чтобы одновременно услышать эхо своего возгласа от всех стен леса?

Решение. Задача сводится к отысканию точки, равноудаленной от 4-х сторон ромба, т.-е. к нахождению центра вписанного круга. Точка эта лежит на пересечении биссектрис углов между сторонами, т.-е. на пересечении диагоналей.

Чтобы видеть себя в зеркале в отвесном положении во весь рост, вовсе не необходимо иметь зеркало высотою в рост человека: для этого достаточно зеркало в половину человеческого роста. Доказать это.

Решение. Сделав построение (черт. 19), легко усмотреть, что нужная часть bc зеркала составляет отрезок прямой, проведенной через середину боковой стороны треугольника АВС параллельно основанию. Она равна ½ B'C', т.-е. половине человеческого роста (вернее, половине возвышения глаза над полом).

Аэроплан шириною 12 метров был сфотографирован во время полета снизу, когда он пролетал отвесно над аппаратом. Глубина камеры 12 см. На снимке ширина аэроплана равна 8 миллиметрам. На какой высоте летал аэроплан в момент фотографирования?

Решение. Из чертежа 20 видно, что (вследствие равенства углов 1 и 2 и параллельности горизонтального протяжения предмета его изображению) линейные размеры предмета так относятся к соответствующим протяжениим изображения, как расстояние предмета от объектива относится к глубине камеры. В нашем случае, обозначив высоту аэроплана над землей через х, имеем пропорцию: 12000 : 8 = х : 0,12; откуда х = 180 метров.

Почему принято считать лучи Солнца, падающие на Землю (или другую планету), параллельными между собою? Вычислите, какой наибольший угол могут составить между собою два луча, исходящие из одной точки Солнца и падающие на земную площадку, ширина которой 1 километр?

Решение. Принимая расстояние от Земли до Солнца в 150 000 000 км, вычислим, какому центральному углу соответствует при таком радиусе дуга длиною в 1 километр. Результат: 0,0015" — угол, недоступный измерению даже точнейшими астрономическими приборами.

На каждый кв. см земной поверхности опирается столб атмосферы, весящий 1 килограмм. Сколько весит вся земная атмосфера? Окружность Земли — 40 000 000 метров.

Решение. Задача сводится к вычислению поверхности земного шара по ее окружности, в квадратных сантиметрах. Ответ: 5 триллионов (5·10¹⁸) килограммов. Будет поучительнее в смысле наглядности, если вычислить, какого размера (величина ребра или диаметра) железный куб или шар равен по весу всей атмосфере.

Может ли плавать в воде полый медный шар, наружный диаметр которого 12 см, а толщина стенок — 1 1/2 см. (Тела плавают лишь в том случае, когда весят меньше равного объема воды). 1 куб. см меди весит 9 граммов.

Решение. Объем полого шара определяем, как разность объемов шара в 12 см диаметром и шара (полости) в 9 см диаметром: 1/6 π · 12³ — 1/6 π · 9³ = 523,7 куб. см. Вес его равен 523,7 × 9 = 4713 г. Вес водяного шара равного наружного объема = 1/6 π 12³ = 904,78. Шар должен потонуть.

Почему лучина загорается быстрее, чем целое полено, от которого она отколота?

Решение. Задача с первого взгляда представляется вовсе не геометрической; между тем она сводится к чисто геометрическому вопросу. Действительно, так как нагревание происходит с поверхности и распространяется на весь объем тела, то следует сравнить поверхность и объем лучины, например, квадратного сечения, с поверхностью и объемом полена той же длины и тоже квадратного сечения, чтобы определить, какой величины поверхность приходится на каждый куб. сантиметр древесины в обоих случаях. Если толщина полена в 10 раз больше толщины лучины, то боковая поверхность полена больше поверхности лучины тоже в 10 раз, объем же его больше объема лучины в 100 раз. Следовательно, на каждую единицу поверхности в лучине приходится вдесятеро меньший объем, чем в полене: одинаковое количество тепла нагревает в лучине вдесятеро меньше вещества — отсюда и более раннее воспламенение лучины, чем полена, от одного и того источника тепла.

Два котла, большой и малый, одинакового материала и формы (или два самовара), наполнены кипятком. Какой остынет скорее?

Решение. Вещи остывают с поверхности, и, следовательно, остынет скорее тот котел, в котором на каждую единицу объема приходится большая поверхность. Если один котел в n раз выше и шире другого, то поверхность его больше в n² раз, а объем в n³; на единицу поверхности в большем котле приходится в n раз больший объем. Следовательно, меньший котел должен остыть раньше.

По той же причине ребенок, стоящий на морозе, должен зябнуть больше, чем одинаково одетый взрослый: количество тепла, возникающего в каждом куб. сантиметре тела, у обоих одинаково (приблизительно), но теряющая теплоту поверхность тела, приходящаяся на каждый куб. сантиметр, у ребенка больше, чем у взрослого.

Верховой должен прибыть (черт. 21) из точки А в точку С, отделенную от него полосой песку шириною 2 км и полосой луга шириною 3 км. Скорость его на песчаной почве вдвое меньше, чем на лугу. Доказать, что путь по ломаной линии АМС (когда ЕМ = 1 км) быстрее приведет к точке С, нежели путь по прямой АС или по ломаной АЕС. Расстояние ВС = 7 км.

Решение. Рассмотрим путь (черт. 22) по прямой АС. Длина его = √(5² + 7²) = 8,60 км. Длина части NC (путь по лугу) = 3/5 АС = 5,16 км, а AN — путь по песку — 3,44 км. Так как по песку движение вдвое медленнее, то 3,44 км песчаного пути равнозначащи, в смысле требуемого времени, двойному пути по лугу — 6,88 км. И значит путь в 8,60 км по песку и лугу соответствует 5,16 + 6,88 = 12,04 км пути по лугу.

Такой же расчет сделаем для пути АМС. Отрезок АМ = √(1 + 2²) = 2,27 км, что отвечает 4,54 км пути по лугу. МС = √(3² + 6²) = 6,71 км. Длина всего пути АМС соответствует 4,54 км + 6,71 км = 11,25 км пути по лугу. Мы видим, что путь по ломаной АМС будет пройден скорее, чем путь по прямой АС.

Наконец, третий путь АЕС состоит из части АЕ = 2 км (соответствующей 4 км пути по лугу) и пути по лугу ЕС = √(3² + 7²) = 7,61 км; весь путь соответствует 4 + 7,61 = 11,61 км пути по лугу и длиннее АМС, хотя короче прямого пути АС.

Скорости. — Воздух. — Тепловое расширение. С. 91—93. — pdf 91

В квадратном дюйме пчелиных сотов можно насчитать в среднем 23 ячейки, имеющих форму равных правильных шестиугольников. Определить длину каждой стороны ячейки.

Решение. Решение задачи сводится к вычислению стороны правильного шестиугольника, площадь которого равна 1/23 кв. дюйма. Обозначив сторону через х, имеем: (3√3/2) x² = 1/23, откуда x ≈ 0,13 дюйма.

Школьный микроскоп увеличивает в 50 раз. Можно ли в него рассмотреть красные тельца нашей крови, имеющие в ширину 0,007 мм?

Решение. Принимая расстояние ясного зрения равным 25 см, имеем, что предмет шириною 0,007 мм виден невооруженному глазу с такого расстояния под углом

(0,007 · 360 · 60 · 60) / (2π · 250) = около 7".

«Увеличение в 50 раз» означает, что угол зрения, под которым виден предмет помощью прибора, в 50 раз больше, чем для невооруженного глаза. Следовательно, кровяное тельце должно представиться в микроскоп под углом в 7" × 50 = 350" = около 6'. Так как предел различения для нормального глаза 1', то микроскоп с увеличением в 50 раз должен быть вполне достаточен для указанной цели.

О красных кровяных тельцах («шариках») читаем в «Курсе физиологии животных и человека» проф. Б. Ф. Вериго следующее: …

Решение. Если бы человек стал в 10 раз меньше по своим линейным размерам, то-есть приобрел бы величину жука-геркулеса (170 см : 10 = 17 см; геркулес — 15 см), то вес его тела уменьшился бы в 1000 раз, а сила мышц ослабела бы, пропорционально уменьшению площади поперечного сечения, всего в 100 раз. Если человек весил 4 пуда (64 кг) и мог удержать груз в 10 пудов (160 кг), то, уменьшенный в 10 раз, он весил бы 64 грамма и мог бы удержать груз в 1600 граммов, — в 25 раз больший его веса. При еще большем уменьшении — до размеров мухи, т.-е. в 200 раз, — вес его уменьшился бы в 8 000 000 раз, а мышечная сила всего в 40 000 раз; он весил бы 8 миллиграммов, а мог бы поднять груз в 4 грамма (4000 миллиграммов) — в 500 раз больше! Мы видим, следовательно, что насекомые кажутся нам сильными не потому, что их мышцы значительно сильнее мускулов крупных животных, а потому, что вес их тела крайне мал. Увеличенные до размеров человека или лошади, муравьи были бы слабее их.

Зрачок человеческого глаза может изменять свой диаметр (в зависимости от яркости освещения) от 2 до 9 миллиметров. Во сколько раз расширенный зрачок пропускает больше света, чем суженный?

Решение. Количество пропускаемого света пропорционально площади отверстия. Следовательно, расширенный зрачок пропускает больше лучей, нежели суженный, в отношении

9²/2² = 81/4, т.-е. в 20,25 раз.

Поверхность тела взрослого человека, весящего 65 килограммов, равна в среднем 2 кв. метрам. Как велика поверхность тела человека, весящего 50 килограммов?

Решение. Вес человеческого тела, в среднем, пропорционален его объему, т.-е. кубу линейных протяжений (напр. высоты), а поверхность — квадрату высоты. Если веса, а следовательно, и объемы пропорциональны 65 и 50, то высоты относятся как ∛65 : ∛50, поверхности же — как ∛65² : ∛50². Следовательно, искомая поверхность равна

2 · (∛50² / ∛65²) = 1,55 кв. м.

Лист одуванчика из тенистого места имеет в длину 31 см; лист другого экземпляра, выросшего на солнце, имеет в длину 6,2 см. Во сколько раз первый лист имеет большую площадь?

Решение. Считая листья имеющими геометрически подобную форму, находим искомое отношение, взяв отношение квадратов линейных протяжений:

31² : 6,2² = 25.

Лист, выросший в тени, имеет в 25 раз большую площадь.

(Задача, обратная предыдущей). Площадь листа тополя от корневой поросли, в тени, и такой же формы лист с поверхности кроны были измерены палеткой. Первый лист оказался по площади в 20 раз больше второго. Во сколько раз первый лист шире второго?

Решение. √20 = 4,47. Ответ: в 4,47 раза.

Пчелы и их деятельность. С. 101. — pdf 101

#### Задача 85.

Телеграфный столб, толщиною 6 вершков, покрывается ногтем вытянутой руки. Как велико, приблизительно, расстояние до него?

Ответ: 6 вершк. × 57 = 342 вершк. = около 7 саж.

#### Задача 86.

Для приблизительной оценки угловой величины отдаленных предметов в «Справочной книге для путешественников» рекомендуется пользоваться следующими приемами: …

Решение. Несложным вычислением легко убедиться, что приведенные указания приблизительно правильны.

#### Задача 87.

Как велики должны быть буквы на классной доске и на стенных таблицах, чтобы учащиеся, сидя на своих местах, видели их столь же отчетливо, как в своих тетрадях и книгах?

Решение. Результат вычисления может дать попутно важное практическое указание и преподавателю, определяя требуемый размер тех букв и чертежей, которые он выводит на доске.

#### Задача 88.

Начертить в тетради кружок, который имел бы ту же видимую величину (т.-е. усматривался бы под тем же углом зрения), как Луна на небе.

Решение. Решение этой задачи приводит к результату совершенно неожиданному. Чтобы с расстояния ясного зрения (25 см) видеть кружок под углом в ½°, т.-е. под тем же, под каким мы видим Луну на небе, нужно дать ему размеры в 114 раз меньше, чем 25 см; это вытекает из таблички стр. 105. Но 25/114 сантиметра — это 2,2 миллиметра — толщина спички! Диск Луны, который нам кажется, — особенно при восходе или заходе — таким крупным, — в действительности занимает на нашей сетчатке не больше места, чем ширина спички, которую мы рассматриваем в 25 см от глаза... Такова же и видимая величина солнечного диска.

#### Задача 89.

Кружок с диаметром в 1", видимый с Земли на лунной поверхности, содержит в себе около 2 1/4 кв. верст (Дж. Гершель, «Очерки Астрономии»). Проверить это утверждение.

Решение. (Проверка основана на вычислении угловой величины и площади.)

#### Задача 90.

Если есть жители на обращенной к нам стороне Луны, то Земля должна представляться им в виде диска с диаметром в 2° (Гершель). Проверить это.

Решение. (Проверка основана на вычислении угловой величины земного диска с Луны.)

#### Задача 91.

Заслуживает ли доверия показание свидетеля, утверждающего, что он невооруженным глазом различил лицо обвиняемого с расстояния 500 шагов?

Решение. Подробности человеческого лица становятся неразличимыми, т.-е. превращаются для нормального глаза в точку (представляются под углом менее 1') на расстоянии гораздо меньшем 500 шагов. Например, оба глаза, расставленные на 3 см, сливаются в одну точку уже на расстоянии 3 · 3438 = 10314 см = 103 метра = 150 шагов. Различить лицо с расстояния втрое большего может только человек с совершенно исключительною остротою зрения.

#### Задача 92.

Может ли человек среднего роста, с нормальной остротой зрения, стоя на совершенно ровном месте, видеть, как железнодорожные рельсы сходятся вдали в одну точку? (Расстояние между рельсами нормальной колеи — 5 фут.; дальность горизонта для человека среднего роста на горизонтальной поверхности — 4 1/2 версты).

Решение. Чтобы отрезок в 5 футов превратился для нормального глаза в точку, он должен находиться на расстоянии 5 × 3438 = 17190 фут = 4,9 версты. Значит, на ровной местности точка кажущейся встречи рельсов лежит ниже горизонта, т.-е. невидима. Кто на ровной местности видит точку встречи рельсов, тот обладает остротой зрения ниже нормальной (для этого достаточно уже весьма небольшое понижение остроты).

#### Задача 93.

Если бы на Луне существовали жители таких же размеров, как и мы, то можно ли было бы их различить с Земли в сильнейший современный телескоп, увеличивающий в 1000 раз? Каких размеров должны быть здания на Луне, чтобы их можно было различать с Земли в такой телескоп? Если бы на Луне имелось сооружение размерами с крупный океанский пароход (около 200 метров длины), то могли ли бы мы видеть его в сильнейший современный телескоп?

Решение. Телескоп, увеличивающий в 1000 раз, дает возможность различать предметы, угловая величина которых равна 0,001 минуты. Человек, средний рост которого 1,7 метра, на расстоянии Луны (380000 км) должен был бы усматриваться с Земли под углом

(360·60·60·0,0017) / (2π·380000) = около 0,0000018'.

Следовательно, для различения предметов таких размеров, как человек, нужен был бы телескоп в 60 раз более могущественный, т.-е. увеличивающий не в 1000, а в 6000 раз. Здания на Луне должны иметь размеры в 60 раз больше человеческого роста, чтобы их можно было различить с Земли в телескоп с 1000-кратным увеличением. Так как 1,7 × 60 = 102 метра, то крупные морские суда и другие большие сооружения современной техники, если бы они имелись на Луне, могли бы быть различаемы в сильнейшие телескопы земного шара.

#### Задача 94.

Как далеко видите вы кругом себя, стоя на ровной местности или в лодке на воде?

Решение. Считая возвышение глаза над земной поверхностью равным, для взрослого человека, 170 сантиметрам, или 1,7 метра, получаем по формуле x = √(2Rh):

x = √(1280000 · 1,7) = 4664 метра,

т.-е. около 4½ километров, или 4 версты. Для людей высокого роста — расстояние несколько больше, низкого — меньше.

#### Задача 95.

Проверьте следующую применяемую в морской практике формулу вычисления дальности горизонта: дальность горизонта в 3,6 √h, где h — возвышение глаза в метрах.

Решение. Подставив в формулу x = √(2Rh) вместо 2R — 12800000 метров, имеем:

x = √(12800000h) = 1000√(12,8h) метров, или 3,6√h километров.

#### Задача 96.

Как далеко видит авиатор с высоты 2 километров?

Решение. x = √(12800 · 2) = 160 километров. (Вычисление по упрощенной формуле предыдущей задачи дает почти тот же результат: 3,6√2000 = 160,02 километра).

#### Задача 97.

Дальность видимости предмета, — т.-е. расстояние до него в море в тот момент, когда он появляется из-под горизонта наблюдателя, глаз которого находится на уровне моря, — часто в морской практике определяют упрощенно по правилу: дальность в морских милях равна квадратному корню из высоты предмета в футах. — Проверить это правило.

Решение. Расстояние СВ (черт. 23) от наблюдателя А до предмета АВ в момент появления точки В над горизонтом равно √(AB · 2R), где R — радиус Земли. Выразив R и АВ в морских милях (миля = 6080 футов), получаем выражение:

√(6080 · 6080 · AB / (6080 · 6080)) = около √AB,

т.-е. правило довольно хорошо подтверждается.

#### Задача 98.

Чему равна дальность видимости маяка в 50 метров высоты для наблюдателя, глаз которого помещен близ уровня воды?

Решение. Подставляя в формулу x = √(2Rh) вместо 2R — 12800000 метров, а вместо h — 50 метров, получаем: x = 25,3 километра.

#### Задача 99.

На каком расстоянии откроется тот же маяк для матроса («марсового»), сидящего на «марсе» корабля, если глаз его на 15 метров выше уровня воды?

Решение. Сделав соответствующий чертеж, легко видеть (черт. 24), что искомое расстояние AC = сумме двух отрезков АВ и ВС (касательных), каждый из которых вычисляется по формуле

x = √(2Rh).

Следовательно, искомая дальность видимости равна

√(2R·50) + √(2R·15) = 25,3 + 13,84 = 39,14.

Маяк откроется на расстоянии 39 километров от корабля.

#### Задача 100.

Верхушка берегового маяка, высотою 70 метров, замечена над горизонтом матросом, находившимся на марсе, на высоте 20 метров над водой. Вычислить расстояние корабля от маяка.

Решение — такое же, как и предыдущей задачи, от которой настоящая отличается только редакцией.

#### Задача 101.

Молния сверкнула в небе, прямо над головой наблюдателя («в зените») на высоте 2 километров (расстояние легко определить по запаздыванию звука). Как далеко расположены места на поверхности земли, где та же молния была видна на горизонте?

Решение. x = √(2R·2) = 160 километров.

Так как гром на таком расстоянии уже не слышен, то в указанных местах молния могла лишь наблюдаться, как зарница.

#### Задача 102.

С какой высоты можно видеть на 200 километров?

Решение. Из той же формулы: дальность = √(2Rh), находим, что искомая высота равна

200²/12800 = 3,125 километра.

#### Задача 103.

Проверить и пополнить следующую таблицу дальности горизонта: …

Решение. (Заполняется по формуле x = √(2Rh).)

#### Задача 104.

Формулой дальности горизонта можно воспользоваться и для определения (приблизительного) радиуса земного шара, если дальность горизонта на совершенно ровном месте измерена. Во время экскурсии, при благоприятной обстановке, можно попытаться осуществить подобное измерение. Учащиеся должны сами разработать план выполнения этого предприятия.

Решение. (План разрабатывается учащимися.)

#### Задача 105.

Определить дальность горизонта для человека среднего роста, перенесенного на одну из равнин Луны.

Решение. Принимая радиус Луны равным 1750 км, имеем для высоты 1,7 метров дальность горизонта:

√(3500000 · 1,7) = 2439 метров (менее 2½ км).

#### Задача 106.

Как велико понижение горизонта для наблюдателя, находящегося на вершине Эйфелевой башни? Высота башни 300 метров.

Решение. Угол ЕВС (черт. 25) = углу ВС'F, который легко вычислить, если известны ВС и BF. Первое есть дальность горизонта для точки В. Второе = АВ + AF = 300 м + стрелка дуги DAC.

BC = √(2R·300) = √(12800000·300) = 65 км.

AF = FC²/(2R);

так как угол С очень мал, то CF можно принять равным ВС, т.-е. дальности горизонта; поэтому

FC²/(2R) = BC²/(2R) = 2R·300/(2R) = 300 метров.

Итак: BF = 300 + 300 = 600 метров. Искомое понижение горизонта, в виду малости этого угла, равно:

(0,6 · 360 · 60) / (2π · 65) = 31,6' или около ½°.

#### Задача 107.

На черт. 27 изображена диаграмма расходов. Измерив ширину шкафов, убеждаемся, что размеры выбраны неудачно.

Решение. Измерив ширину шкафов (20 мм и 26 мм), убеждаемся что отношение их кубов 10³ : 13³ = 1000 : 2197, т.-е. не равно отношению чисел 1397,1 : 2354,2. Следовательно, размеры шкафов выбраны на диаграмме неудачно (повидимому, составитель диаграммы соразмерял с числами площади изображения шкафов, а не объемы изображаемых шкафов). Точно так же не отвечает требуемым размерам и высота шкафов.

#### Задача 108.

Представить отношения 1:2:3 трожко: 1) в виде отношений длин отрезков; 2) в виде отношений площадей кругов; 3) в виде отношений объемов шаров.

Решение видно из чертежа 28-го. Диаметры кругов относятся как 1 : √2 : √3, т.-е. как 1 : 1,41 : 1,76, а диаметры шаров как 1 : ∛2 : ∛3, т.-е. как 1 : 1,26 : 1,44.

Задача показывает, между прочим, что изображение статистических чисел в виде объемов тел не отличается достаточною наглядностью.

С. 129—133. — pdf 129

С. 133—137. — pdf 133

#### Задача 109.

Куб. сажень = 9,7 куб. метра. Какую долю куб. сажени составляет 1 куб. метр?

Решение.

1/9,7 = 1/(10·0,97) = 0,1·1,03 = 0,103.

#### Задача 110.

При обмере угодий в усадьбе получены были следующие результаты: пахотной земли 150 десятин, леса 112,5, луга 50. После обмера было обнаружено, что мерная цепь вытянута и заключала на 16,8 дюйма больше, чем 10 сажен. Как следует исправить результаты измерения?

Решение. Если цепь заключала на 16,8 дюйма больше, чем 10 сажен или 840 дюймов, то значит все полученные линейные протяжения преувеличены на 16,8/840 = 1/200; их истинные размеры составляют 1 — 1/200 = 0,99 их. Следовательно, все числа нужно уменьшить на 0,01.

#### Задача 111.

При обмере кубатуры (объема) корабельного трюма пользовались метром, который, как впоследствии обнаружилось, был на 1/2 сантиметра короче истинного метра. Как надо изменить результат, чтобы получить правильную кубатуру?

Решение. Истинные линейные размеры больше полученных на 1/2%; следовательно, объем меньше истинного в отношении

(1 — 1/200)³ : 1 = (1 — 3/200) : 1 = 0,985.

#### Задача 112.

Возвышение наблюдателя над землей увеличилось на 1%. На сколько процентов увеличилась дальность его горизонта?

Решение. Дальность горизонта пропорциональна √h; следовательно, при увеличении h на 1% дальность увеличится на ½%.

#### Задача 113.

В январе земной шар на 7 миллионов километров ближе к Солнцу, нежели в июле. Какова разница в силе солнечного освещения, если известно, что сила освещения убывает пропорционально квадрату расстояния? Среднее расстояние от Земли до Солнца — 150 миллионов километров.

Решение. (Отношение квадратов расстояний: (150+7)² : (150—7)² ≈ 1,1, т.-е. около 10%.)

#### Задача 114.

Найти объем бревна, средняя толщина которого 2 дециметра, а длина 21 дециметр (одна сажень).

Решение выполняется устно. Находим объем бруса такой же ширины; он равен 2·2·21 = 84; берем ¾ его, т.-е. отнимаем ¼ его — получаем 84 — 21 = 63. Прибавляем 5%:

63 + 6,3/2 = 63 + 3,15 = 66,15, т.-е. 66 куб. дм.

#### Задача 115.

Найти поверхность и объем земного шара, зная что диаметр его 13 000 километров.

Решение. Поверхность = 3D² = 3·169·1000² = около 510 миллионов кв. км.

#### Задача 116.

(Текст в OCR отсутствует).

Решение. (См. с. 144 PDF.)

#### Задача 117.

В сочинении Архимеда «О сфере и цилиндре» находим следующие утверждения: … Показать справедливость этих утверждений.

Решение вытекает непосредственно из условия задачи, если выразить объем упоминаемых в задаче конуса и цилиндра соответствующими формулами. Для конуса имеем (обозначив радиус шара через r):

1/3 π r² · r = 1/3 π r³ = ¼ (4/3 π r³).

Для цилиндра:

π r² · 2r = 2π r³ = 3/2 (4/3 π r³).

#### Задача 118.

Герону Александрийскому приписывают следующее приближенное выражение для площади равностороннего треугольника со стороной a: она равна 13/30 a². Проверьте это правило.

Решение. Площадь равностороннего треугольника = ½ a · ½ a√3 = ¼ a²√3 = 0,432a². Героново выражение 13/30 a² = 0,433a², т.-е. отличается от него менее чем на 1/400 или ¼%.

#### Задача 119.

В древне-индусском сочинении по математике находим следующий способ черчения круга, равновеликого данному квадрату… Проверить это правило.

Решение. Радиус начерченного круга

MN = MG + 1/3 (ME — MG) = 2/3 MG + 1/3 AM =

= 2/3 MG + 1/3 MG√2 = MG(2/3 + √2/3) =

= ½ AB(2/3 + √2/3) = AB · (2 + √2)/6 = 0,569 AB.

Площадь круга с таким радиусом = 1,02 AB², т.-е. на 2% больше площади квадрата со стороною АВ. Следовательно, способ дает преувеличение на 2%.

#### Задача 120.

Предполагают, что древние египтяне определяли отношение длины окружности помощью следующего опыта… Как по этим данным установить искомое отношение?

Решение. Обозначив диаметр цилиндра через d, высоту воды в нем через H, а высоту воды в призматическом сосуде через H', имеем, что объем водяного цилиндра = ¼ π d² H, а равного ему призматического столба — d²H'. Так как

¼ π d² H = d²H',

то π = 4H'/H.

#### Задача 121.

Средневековый арабский ученый Альбируни (IX век) вычислил радиус земного шара на основании следующего измерения… Каким способом выполнил он это вычисление? Чему равен арабский локть, если считать измерение сделанным верно?

Решение. Прилагая прием вычисления, объясненный в задаче № 106, получаем:

34 = (1304 · 360 · 60) / (2π √(2R · 652)).

Отсюда легко определяется R (радиус земного шара), а следовательно и окружность Земли, — в локтях.

На второй вопрос задачи дает ответ то же выражение, если в него подставить вместо R величину радиуса Земли в метрах.

(Текст в OCR отсутствует).

Если все кубические миллиметры, заключающиеся в 1 кубическом метре, поставить друг на друга, то какой высоты получится столб?

Решение. 1000 × 1000 × 1000 миллиметров = 1000 километров! (Такие задачи лучше предлагать для устного решения).

Имеется квадратный лист миллиметровой бумаги в 1 метр ширины. Сколько времени понадобится, чтобы проставить точки в каждой клетке этого листа, полагая по одной точке в секунду и работая непрерывно 8 часов в сутки?

Решение. В 1 кв. метре миллиметровой бумаги содержится 1 000 000 клеток. Столько же секунд потребуется. 1 000 000 секунд = 11½ суток; в сутках же всего 86 400 секунд. При работе по 8 часов в сутки понадобится 34½ суток.

Если бы мы могли обойти земной шар по экватору, то макушка нашей головы описала бы более длинный путь, чем каждая точка ступней. Как велика эта разница?

Решение. Принимая рост человека в 175 см и обозначив радиус Земли через R, имеем:

2π(R + 175) — 2πR = 2π · 175 = 1099,56 см, т.-е. около 11 метров.

Поразительно здесь то, что результат совершенно не зависит от радиуса шара и, следовательно, одинаков на самом большом солнце и на самом маленьком шарике.

Каких размеров потребовался бы кубический ящик, чтобы вместить всех людей на свете (1 700 миллионов), считая по 6 человек в 1 куб. метре.

Ответ: ребро ящика не превысило бы 2/3 версты (660 метров).

Если бы все население земного шара утонуло в Ладожском озере, то насколько поднялся бы в нем уровень воды? Поверхность Ладожского озера — 18 000 кв. километров. Человеческое тело вытесняет в среднем 50 куб. дециметров.

Ответ: уровень воды поднялся бы всего на ½ сантиметра.

Средний палец гранитной статуи Мемнона в Египте имеет в длину 138 см. Зная, что гранит в 3 раза тяжеле человеческого тела, определить, сколько весит эта статуя.

Решение. Измерением находим длину среднего пальца человека — около 8 см. Следовательно, объем статуи превосходит объем человеческого тела в (138/8)³ раз. Человек весит около 60 килограммов; сделанный из гранита в натуральную величину, он весил бы 60 × 3 = 180 кг. Следовательно, статуя Мемнона весит

180 × (138/8)³ = 910414 килограммов,

или около 910 тонн (54 000 пудов — вес 15-ти паровозов).

В статье Н. В. Гоголя «Об архитектуре нашего времени» находим такие строки: … Верно ли последнее утверждение? И возможно ли сооружение башни с дальностью горизонта в 150 верст?

Решение. 1) Утверждение не верно, так как из формулы дальности горизонта √(2Rh) следует, что дальность растет гораздо медленнее возвышения h, именно пропорционально квадратному корню из него. Поэтому «один только или два этажа лишних», т.-е. прибавка 2 — 4 сажен к высокому зданию, почти ничего не изменяют; например, при высоте в 300 м (Эйфелева башня) прибавка 6 м к высоте увеличит дальность горизонта всего на 1%.

2) Башня с дальностью горизонта 150 верст должна иметь в высоту 150²/12000 = 1,875 версты, т.-е. почти 2 версты, вшестеро выше башни Эйфеля!

Из «Скупого рыцаря» Пушкина: … Вычислите высоту такого холма и дальность обозреваемого с его вершины горизонта. …

Решение. Объем холма, насыпанного 100000 воинами, равнялся, по условиям задачи, 100000 · 1/10 = 10000 куб. дециметров = 10 куб. метров (около 1 куб. сажени). Уже из этого подсчета видно, что холм должен быть невысокий. Вычисление высоты легко выполнить, если принять во внимание, что согласно условию задачи, она равна радиусу окружности основания (образующая составляет с радиусом основания угол в 45°). Следовательно, обозначив искомую высоту через х, имеем:

10 = 1/3 π x³,

откуда

x = ∛(30/π) = 2,12 метра, т.-е. одна сажень!

Дальность горизонта для глаза, находящегося на высоте 2,11 + 1,7 = 3,72 метра, равна

√(12800000 · 3,72) = 6,89 километров,

т.-е. всего лишь на 2,2 километра больше, чем видит человек на ровном месте!

Холм, сооруженный 1 000 000 участников, был бы выше сейчас вычисленного в ∛10, т.-е. в 2,15 раз, а холм, насыпанный всем человечеством — в ∛17000, т.-е. в 25,2 раза, другими словами, имел бы в высоту 53 метра (половина высоты Исаакиевского собора).

(Из «Астрономии» Араго). «Наблюдатель находится на одной стороне реки, через которую нет ни моста, ни брода. Требуется определить ее ширину».

Решение. «Для этого мы визируем какой-либо предмет А, находящийся на противоположной стороне реки (например, ствол дерева); пусть диаметр его виден из В под углом в 1°. Затем наблюдатель удаляется от первого места наблюдения по направлению прямой АВ, пока не достигнет точки С, из которой ствол дерева А виден под углом вдвое меньшим, чем из В. В этой точке расстояние от дерева будет вдвое больше, чем в первой, следовательно ВС = АВ. Стоит только измерить расстояние ВС, чтобы получить ширину реки АВ».

Найти ширину реки, пользуясь треугольником (деревянным) с углом в 30°.

Решение. Поместив треугольник АВС (черт. 34) так, чтобы, визируя вдоль гипотенузы, видеть предмет К на противоположном берегу, ставят веху F на продолжении АС в точке основания перпендикуляра из К на АF. Расстояние АF ≈ 1,2 АЕ. Так как АF можно измерить непосредственно, то определяется и расстояние АЕ, откуда нетрудно уже найти ширину реки.

При землемерной работе потребовалось продолжить прямую линию за препятствие, которое нельзя обойти… Как это выполнить?

Решение. Через произвольную точку М прямой АВ проводим перпендикуляр, на котором, по обе стороны прямой АВ отмеряем равные расстояния MN и МО. Соединяем N и О с А и через точки N и О проводим прямые, перпендикулярные к АN и АО. Легко доказать, что точка пересечения этих прямых лежит на продолжении АВ.

Издали виден ряд телеграфных столбов, линия которых тянется перпендикулярно к лучу зрения… Расстояние между двумя соседними столбами (обычно 25 сажен) видно под углом в 4 1/2°. Как велико расстояние от наблюдателя до телеграфной линии?

Решение. 25 · 2 · 360 / (9 · 2π) = 318 сажен.

Товарный вагон, видимый вами вдали, как раз покрывается по ширине ногтем указательного пальца вашей вытянутой руки. Зная, что ширина вагона 3 сажени, можете ли вы приблизительно определить расстояние от вас до вагона?

Решение. Так как ноготь указательного пальца вытянутой руки усматривается под углом в 1° (см. стр. 104), то вагон находится на расстоянии 3 · 57 = около 170 сажен.

Глядя на палец протянутой вперед руки попеременно правым и левым глазом, вы замечаете, что он покрывает различные точки отдаленного предмета. Зная расстояние между зрачками глаз (6 1/2 см) и измерив расстояние от глаз до пальца в описанном положении, как воспользоваться этими данными для оценки расстояния или величины отдаленного предмета?

Решение. Если на черт. А и В изображают положение зрачков наблюдателя, а О — положение пальца, то С и D будут те точки отдаленного предмета, которые покрываются пальцем при рассматривании его каждым глазом в отдельности. Из подобия треугольников АОВ и COD имеем (OF и ОЕ — высоты):

OF / CD = OE / AB,

откуда CD = OF · AB / OE. Зная AB (расстояние между зрачками), OE (расстояние от глаз до пальца) и OF (расстояние до предмета), можно определить CD — величину отдаленного предмета.

---

— Сегодня утром я с белкой в прятки играл, — рассказывал во время завтрака один из собравшихся за столом дома отдыха. — Вы знаете в нашем лесу круглую полянку с одинокой березой посередине? За этим деревом и пряталась от меня белка. Выйдя из чащи на полянку, я сразу заметил беличью мордочку с живыми глазками, уставившуюся на меня из-за ствола. Осторожно, не приближаясь, стал я обходить по краю полянки, чтобы взглянуть на зверька. Раза четыре обошел я дерево — но плутовка отступала по стволу в обратную сторону, по-прежнему показывая только мордочку. Так и не удалось мне обойти кругом белки.

— Головоломка моя зародилась в обстановке коммунальной квартиры. Задача, так сказать, бытовая. Жилица — назову ее для удобства Тройкиной — положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина — 5 полен. Жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату?

— В нашей школе, — начал пионер, — имеется 5 кружков: политкружок, военный, фотографический, шахматный и хоровой. Политкружок занимается через день, военный — через 2 дня на 3-й, фотографический — каждый 4-й день, шахматный — каждый 5-й день и хоровой — каждый 6-й день. Первого января собрались в школе все 5 кружков, а затем занятия велись в назначенные по плану дни, без отступлений от расписания. Вопрос состоит в том, сколько в первом квартале было еще вечеров, когда собирались в школе все 5 кружков. И сколько в том же квартале года было таких вечеров, когда кружковых занятий в школе вовсе не происходило?

— Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них на тротуаре. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперед по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?

— То, о чем я скажу, происходило в 1932 г. Мне было тогда ровно столько лет, сколько выражают последние две цифры года моего рождения. Когда я об этом соотношении рассказал деду, он удивил меня заявлением, что с его возрастом выходит то же самое. Мне это показалось невозможным...

— Я — железнодорожная кассирша, продаю билеты, — начала следующая участница игры. — Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я служу на дороге с 25 станциями. Сколько же, по-вашему, различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?

— Из Ленинграда вылетел прямо на север дирижабль. Пролетев в северном направлении 500 км, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 500 км, дирижабль сделал новый поворот — на юг и прошел в южном направлении 500 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 500 км, опустился на землю. Спрашивается: где расположено место спуска дирижабля относительно Ленинграда — к западу, к востоку, к северу или к югу?

— Позвольте мне, — сказал очередной загадчик, — взять сюжетом головоломки тот же дирижабль. Что длиннее: дирижабль или его полная тень?

Очередной оратор высыпал на стол все спички из коробка и стал распределять их в три кучки. — Костер собираетесь раскладывать? — шутили слушатели. — Головоломка, — объяснил загадчик, — будет со спичками. Вот их три неравных кучки. Во всех вместе 48 штук. Сколько в каждой, я вам не сообщаю. Зато отметьте следующее: если из первой кучи я переложу во вторую столько спичек, сколько в этой второй куче имелось; затем из второй в третью переложу столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться; и, наконец, из третьей переложу в первую столько спичек, сколько в этой первой куче будет тогда иметься, — если, говорю, все это проделать, то число спичек во всех кучках станет одинаково. Сколько же было в каждой кучке первоначально?

— Головоломка эта, — начал сосед последнего загадчика, — напоминает задачу, которую давно как-то задал мне деревенский математик. Это был целый рассказ...

— Я, товарищи, языковед, от всякой математики далек, — начал пожилой человек, которому пришел черед задавать головоломку. — Не ждите от меня поэтому математической задачи. Могу только предложить вопрос из знакомой мне области. Разрешите задать календарную головоломку? — Просим! — Двенадцатый месяц называется у нас «декабрь». А вы знаете, что собственно значит «декабрь»? Слово это происходит от греческого слова «дека» — десять, отсюда также слова «декалитр» — десять литров, «декада» — десять дней и др. Выходит, что месяц декабрь носит название «десятый». Чем объяснить такое несоответствие?

— Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет на бумажке, тайно от меня, любое трехзначное число. — Могут быть и нули в этом числе? — Не ставлю никаких ограничений. Любое трехзначное число, какое пожелаете. — Написал. Что теперь? — Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно, шестизначное число. — Есть. Шестизначное число. — Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь. — Легко сказать: разделить на семь! Может и не разделится. — Не беспокойтесь, поделится без остатка. — Числа не знаете, а уверены, что поделится. — Сначала разделите, потом будем говорить. — На ваше счастье разделилось. — Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11. — Думаете опять повезет — разделится? — Делите, остатка не получится. — В самом деле без остатка! Теперь что? — Передайте результат дальше. Разделим его... ну, скажем, на 13. — Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится... Ан, нет, разделилось нацело. Везет же вам! — Дайте мне бумажку с результатом; только сложите ее, чтобы я не видел числа. Не развертывая листка бумаги, «фокусник» вручил его председателю. — Извольте получить задуманное вами число. Правильно? — Совершенно верно! — с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. — Именно это я и задумал...

Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например, 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8 + 4 + 7 = 19) и отнять ее от задуманного числа. У загадчика окажется: 847 — 19 = 828. В том числе, которое получится, пусть он зачеркнет одну цифру — безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось. Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фокуса?

Вы предлагаете товарищу задумать любое трехзначное число, не оканчивающееся нулем, и просите затем переставить цифры в обратном порядке. Сделав это, он должен вычесть меньшее число из большего и полученную разность сложить с нею же, но написанною в обратной последовательности цифр. Ничего не спрашивая у загадчика, вы сообщаете ему число, которое у него получилось в конечном итоге.

Для выполнения этого остроумного фокуса необходимо приготовить три какие-нибудь мелкие вещицы, удобно помещающиеся в кармане, например карандаш, ключ и перочинный ножик. Кроме того, поставьте на стол тарелку с 24 орехами; за неимением орехов годятся шашки, кости домино, спички и т. п.

Почему 28 костей домино можно выложить с соблюдением правил игры в одну непрерывную цепь?

Когда 28 костей домино выложены в цепь, на одном ее конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

Ваш товарищ берет одну из костей домино и предлагает вам из остальных 27 составить непрерывную цепь, утверждая, что это всегда возможно, какая бы кость ни была взята. Сам же он удаляется в соседнюю комнату, чтобы не видеть вашей цепи. Вы приступаете к работе и убеждаетесь, что товарищ ваш прав: 27 костей выложились в одну цепь. Еще удивительнее то, что товарищ, оставаясь в соседней комнате и не видя вашей цепи, объявляет оттуда, какие числа очков на ее концах. Как может он это знать? И почему он уверен, что из всяких 27 костей домино составится непрерывная цепь?

На рисунке изображена квадратная рамка, выложенная из костей домино с соблюдением правил игры. Стороны рамки разны по длине, но не одинаковы по сумме очков: верхний и левый ряды заключают по 44 очка, остальные же два ряда — 59 и 32. Можете ли вы выложить такую квадратную рамку, все стороны которой заключали бы одинаковую сумму очков — именно 44?

Четыре кости домино можно выбрать так, чтобы из них составился квадратик с равной суммой очков на каждой стороне. Образчик вы видите на рис. 10: сложив очки на каждой стороне квадратика, во всех случаях получите 11. Можете ли вы из полного набора домино составить одновременно семь таких квадратов? Не требуется, чтобы сумма очков на одной стороне получалась у всех квадратов одна и та же; надо лишь, чтобы каждый квадрат имел на своих четырех сторонах одинаковую сумму очков.

На рис. 11 показан квадрат из 18 косточек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда — продольного, поперечного или диагонального — одна и та же: 13. Подобные квадраты издавна называются «магическими». Существует много магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду. 13 — наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма — 23.

Вы видите на рис. 12 шесть косточек домино, выложенных по правилам игры и отличающихся тем, что числа очков на них образуют правильную прогрессию: 4; 5; 6; 7; 8; 9. Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же величину, называется «арифметической прогрессией». В нашем ряду каждое число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая «разность». Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточковых прогрессий.

Исходя из расположения, показанного на рис. 15, привести шашки в правильный порядок, но со свободным полем в левом верхнем углу (рис. 19).

Исходя из расположения рис. 15, поверните коробку на четверть оборота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения рис. 20.

Передвигая шашки согласно правилам игры, превратите коробку в «магический квадрат», а именно, разместите шашки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30.

Крокетные ворота имеют прямоугольную форму. Ширина их вдвое больше диаметра шара. При таких условиях что легче: свободно, не задевая проволоки, пройти с наилучшей позиции ворота или с такого же расстояния крокировать шар?

Толщина крокетного столбика внизу — 6 см. Диаметр шара 10 см. Во сколько раз попасть в шар легче, чем с такого же расстояния заколоться?

Шар вдвое уже прямоугольных ворот и вдвое шире столбика. Что легче: свободно пройти ворота с наилучшей позиции или с такого же расстояния заколоться?

Ширина прямоугольных ворот втрое больше диаметра шара. Что легче: свободно пройти с наилучшей позиции мышеловку или с такого же расстояния крокировать шар?

При каком соотношении между шириной прямоугольных ворот и диаметром шара пройти мышеловку становится невозможным?

Сколько в среднем волос на голове человека? Сосчитано: около 150 000. Определено также, сколько их средним числом выпадает в месяц: около 3000. Как по этим данным высчитать, сколько времени — в среднем, конечно, — держится на голове каждый волос?

Сколько штук сапог необходимо заготовить для городка, третья часть обитателей которого — одноногие, а половина остальных предпочитает ходить босиком?

Сколько в среднем волос на голове человека. Сосчитано: около 150 000. Определено также, сколько их средним числом выпадает в месяц: около 3000. Как по этим данным высчитать, сколько времени — в среднем, конечно, — держится на голове каждый волос?

Мой заработок за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные. Как велика моя зарплата без сверхурочных?

Лыжник рассчитал, что если он станет делать в час 10 км, то прибудет на место назначения часом позже полудня; при скорости же 15 км в час он прибыл бы часом раньше полудня. С какой же скоростью должен он бежать, чтобы прибыть на место ровно в полдень?

Двое рабочих, старик и молодой, проживают в одной квартире и работают на одном заводе. Молодой доходит от дома до завода в 20 мин., старый — в 30 мин. Через сколько минут молодой догонит старого, если последний выйдет из дому 5 минутами раньше его?

Переписка доклада поручена двум машинисткам. Более опытная из них могла бы выполнить всю работу в 2 часа, менее опытная — в 3 часа. Во сколько времени перепишут они этот доклад, если разделят между собою работу так, чтобы выполнить ее в кратчайший срок?

Шестеренка о 8 зубцах сцеплена с колесом, имеющим 24 зубца. При вращении большего колеса шестеренка обходит кругом него. Спрашивается, сколько раз обернется шестеренка вокруг своей оси за то время, пока она успеет сделать один полный оборот вокруг большей зубчатки?

У любителя головоломок спросили, сколько ему лет. Ответ был замысловатый: — Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, — у вас как раз и получатся мои годы. Сколько же ему теперь лет?

— Сколько лет Иванову? — Давайте сообразим. Восемнадцать лет назад, в год своей женитьбы, он был, я помню, ровно в трое старше своей жены. — Позвольте, сколько мне известно, он теперь как раз вдвое старше своей жены. Это другая жена? — Та же. И потому нетрудно установить, сколько сейчас лет Иванову и его жене. Сколько, читатель?

Когда мы с товарищем начали игру, у нас было денег поровну. В первый кон я выиграл 20 коп. Во второй я проиграл две трети того, что имел на руках, и тогда у меня оказалось денег вчетверо меньше, чем у товарища. С какими деньгами мы начали игру?

Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 руб. отдельными рублями и двугривенными. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько было у меня первоначально двугривенных монет, и столько двугривенных монет, сколько имел я раньше отдельных рублей. Всего же уцелело у меня в кошельке треть той суммы, с какой я отправлялся за покупками. Сколько стоили покупки?

Один эстрадный счетчик на своих сеансах делал публике следующее заманчивое предложение: — Объявляю при свидетелях, что плачу 100 рублей каждому, кто даст мне 5 рублей двадцатью монетами — полтинниками, двугривенными и пятаками. Сто рублей за пять! Кто желает? Воцарялось молчание. Публика погружалась в размышление. Карандаши бегали по листкам записных книжек, — но ответного предложения не поступало. — Публика, я вижу, находит 5 рублей слишком высокой платой за сторублевый билет. Извольте, я готов скинуть два рубля и назначаю пониженную цену: 3 рубля двадцатью монетами названного достоинства. Плачу 100 рублей за 3! Желающие, составляйте очередь! Но очередь не выстраивалась. Публика явно медлила воспользоваться редким случаем. — Неужели и 3 рубля дорого? Хорошо, понижаю сумму еще на рубль: уплатите указанными двадцатью монетами всего только 2 рубля, и я немедленно вручу предъявителю сто рублей. Так как никто не выражал готовности совершить обмен, счетчик продолжал: — Может быть, у вас нет при себе мелких денег? Не стесняйтесь этим, я поверю в долг. Дайте мне только на бумажке реестрик, сколько монет каждого достоинства вы обязуетесь доставить.

Можете ли вы число 1000 выразить девятью одинаковыми цифрами? (Кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий.)

Очень легко число 24 выразить тремя восьмерками: 8+8+8. Но можете ли вы сделать то же, пользуясь не восьмерками, а другими тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет не одно решение.

Число тридцать легко выразить тремя пятерками: 5 × 5 + 5. Труднее сделать это тремя другими одинаковыми цифрами. Попробуйте. Может быть вам удастся отыскать несколько решений?

В этом примере умножения больше половины цифр заменено звездочками. Можете ли вы восстановить недостающие цифры?

Вот еще задача такого же рода. Требуется установить, какие числа перемножаются в примере.

Восстановите недостающие цифры в таком примере деления.

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.

Рассмотрите такой случай умножения двух чисел: 48 × 159 = 7632. Он замечателен тем, что в нем участвуют по одному разу все девять значащих цифр. Можете ли вы подобрать еще несколько таких примеров? Сколько их, если они вообще существуют?

В кружках этого треугольника расставьте все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 20.

Все значащие цифры разместить в кружках того же треугольника так, чтобы сумма их на каждой стороне равнялась 17.

Шестиконечная числовая звезда, изображенная на рис. 44, обладает «магическим» свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму. Не удастся ли вам усовершенствовать эту звезду, расставив числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму, 26, составляли числа на вершинах звезды?

Вот что, по преданию, произошло много веков назад в древнем Риме. Полководец Теренций, по приказу императора, совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору. Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать высокое положение в сенате. Но Теренцию нужно было не это. Он просил миллион динариев. Император, не отличавшийся щедростью, задумался и предложил Теренцию следующее: входить в казначейство раз в день, брать одну монету в 1 брасс, затем 2, 4, 8, 16... — всё удваивая. Так до тех пор, пока хватит сил поднимать монеты. Всё вынесенное остаётся полководцу. Теренций согласился, думая, что император щедр.

Шахматы — одна из самых древних игр. Она существует уже около двух тысяч лет, и неудивительно, что с нею связаны предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек; из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если все зернышки прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Оказывается, одна головка мака содержит круглым числом 3000 зернышек. Что отсюда следует? То, что будь кругом нашего макового растения достаточно подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и на будущее лето на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки.

Десять молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как учесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие — по возрасту, третьи — по успеваемости, четвертые — по росту и т. д. Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью: — Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня. Все сели как попало. Официант продолжал: — Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как вы сидите здесь сегодня, тогда — обещаю торжественно — я угощу вас всех бесплатно самыми изысканными обедами. Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы поскорее воспользоваться бесплатным обедом. Однако, им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется ни мало ни много — 3 628 800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 000 лет!

В детстве старший брат показал мне, помню, занимательную игру с монетами. Поставив рядом три блюдца, он положил в крайнее блюдце стопку из 5 монет: вниз рублевую, на нее — полтинник, выше — двугривенный, далее пятиалтынный и на самый верх — гривенник. Нужно перенести на третье блюдце, соблюдая следующие три правила. Первое правило: за один раз перекладывать только одну монету. Второе: никогда не класть большей монеты на меньшую. Третье: можно временно класть монеты и на среднюю тарелку, соблюдая оба правила, но к концу игры все монеты должны очутиться на третьем блюдце в первоначальном порядке.

В столовой дома отдыха зашла за обедом речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал: — Кидаю на стол монету, не глядя. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх? — Объясните сначала, что значит «вероятность», — раздались голоса. — Не всем ясно. — О, это очень просто! Монета может лечь на стол двояко: вот так — гербом вверх, и вот так — гербом вниз. Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай. Теперь находим отношение: 1/2. Дробь 1/2 и выражает «вероятность» того, что монета упадет гербом вверх.

Нет надобности приискивать исключительные положения, чтобы встретиться с числовыми великанами. Они присутствуют всюду вокруг и даже внутри нас самих — надо лишь уметь рассмотреть их. Небо над головой, песок под ногами, воздух вокруг нас, кровь в нашем теле — все скрывает в себе невидимых великанов из мира чисел.

Почему передняя ось телеги больше стирается и чаще загорается, чем задняя?

Угол в 1½° рассматривают в лупу, увеличивающую в 4 раза. Какой величины покажется угол?

Вам знаком, конечно, плотничий уровень с газовым пузырьком, отходящим в сторону от метки, когда основание уровня имеет наклон. Чем больше этот наклон, тем больше отодвигается пузырек от средней метки. Причина движения пузырька та, что, будучи легче жидкости, в которой он находится, он всплывает вверх. Но если бы трубка была прямая, пузырек при малейшем наклоне отбегал бы до самого конца трубки, т. е. до наиболее высокой ее части. Такой уровень, как легко понять, был бы на практике очень неудобен. Поэтому трубка уровня берется изогнутая. Вопрос задачи состоит в том, чтобы определить, на сколько миллиметров отодвинется от метки пузырек, если уровень наклонен на полградуса, а радиус дуги изгиба трубки — 1 м.

Сколько граней у шестигранного карандаша?

Фигуру лунного серпа требуется разделить на 6 частей, проведя всего только 2 прямых линии. Как это сделать?

Из 12 спичек можно составить фигуру креста, площадь которого равна 5 «спичечным» квадратам. Измените расположение спичек так, чтобы контур фигуры охватывал площадь, равную только 4 «спичечным» квадратам. Пользоваться при этом услугами измерительных приборов нельзя.

Из 8 спичек можно составить довольно разнообразные замкнутые фигуры. Некоторые из них представлены на рис. 112; площади их, конечно, различны. Задача состоит в том, чтобы составить из 8 спичек фигуру, охватывающую наибольшую площадь.

На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки виднеется капля меда в трех сантиметрах от верхнего края сосуда. А на наружной стенке, в точке, диаметрально противоположной, уселась муха. Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли. Высота банки 20 см; диаметр — 10 см.

Перед вами дощечка с тремя отверстиями: квадратным, треугольным и круглым. Может ли существовать одна затычка такой формы, чтобы закрывать все эти разновидные отверстия?

Если вы справились с предыдущей задачей, то, быть может, вам удастся найти затычку и для таких отверстий, какие показаны на рис. 115?

Наконец, еще задача в том же роде: существует ли одна затычка для трех отверстий рис. 116?

Запаситесь двумя монетами современного чекана: 5-копеечной и 2-копеечной. На листке бумаги сделайте кружок, в точности равный окружности 2-копеечной монеты и аккуратно вырежьте его. Как вы думаете: пролезет пятак через эту дыру? Здесь нет подвоха: задача подлинно геометрическая.

В вашем городе есть достопримечательность — высокая башня, высоты которой вы, однако, не знаете. Имеется у вас и фотографический снимок башни на почтовой карточке. Как может этот снимок помочь вам узнать высоту башни?

Эта задача предназначается для тех, кто знает, в чем состоит геометрическое подобие. Требуется ответить на следующие два вопроса: 1. В фигуре чертежного треугольника подобны ли наружный и внутренний треугольники? 2. В фигуре рамки подобны ли наружный и внутренний четыреугольники?

Как далеко в солнечный день тянется в пространстве полная тень, отбрасываемая телеграфной проволокой, диаметр которой 4 мм?

Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

Во сколько примерно раз великан ростом 2 м тяжелее карлика ростом 1 м?

Продаются два арбуза неодинаковых размеров. Один на четвертую долю шире другого, а стоит он в 1½ раза дороже. Какой из них выгоднее купить?

Продаются две дыни одного сорта. Одна окружностью 60, другая — 50 см. Первая в полтора раза дороже второй. Какую дыню выгоднее купить?

Мякоть вишни окружает косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня и косточка имеют форму шариков. Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?

Башня Эйфеля в Париже, 300 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около 8 000 000 кг. Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, весящую всего только 1 кг. Какой она будет высоты? Выше стакана или ниже?

Имеются две медные кастрюли одинаковой формы и со стенками одной толщины. Первая в 8 раз вместительнее второй. Во сколько раз она тяжелее?

На морозе стоят взрослый человек и ребенок, оба одетые одинаково. Кому из них холоднее?

Что тяжелее: стакан сахарного песку или такой же стакан колотого сахара?

Пионер собрал в коробку пауков и жуков — всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги. Сколько же в коробке пауков и сколько жуков?

Некто купил плащ, шляпу и галоши и заплатил за все 140 руб. Плащ стоит на 90 руб. больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе на 120 руб. больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности? Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.

Корзины на рис. 136 содержат яйца; в одних корзинах куриные яйца, в других — утиные. Число их обозначено на каждой корзине. «Если я продам вот эту корзину, — размышляет продавец, — то у меня останется куриных яиц ровно вдвое больше, чем утиных». Какую корзину имел в виду продавец?

Самолет покрывает расстояние от города А до города В в 1 ч. 20 мин. Однако, обратный перелет он совершает в 80 мин. Как вы это объясните?

Двое отцов подарили сыновьям деньги. Один дал своему сыну 150 руб., другой своему — 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить?

На пустую шашечную доску надо поместить две белые шашки. Сколько различных положений могут они занимать на доске?

Какое наименьшее целое число можете вы написать двумя цифрами?

Выразите 1, употребив все десять цифр.

Выразите 10 пятью девятками. Укажите, по крайней мере, два способа.

Выразите 100, употребив все десять цифр. Сколькими способами можете вы это сделать? Существует не меньше четырех способов.

Четырьмя различными способами выразите 100 пятью одинаковыми цифрами.

Какое самое большое число можете вы написать четырьмя единицами?

В следующем примере деления все цифры заменены звездочками, кроме четырех четверок. Поставьте вместо звездочек те цифры, которые были заменены. Задача эта имеет несколько различных решений.

Сделайте то же с другим примером, в котором уцелело только семь семерок.

Сообразите в уме, на какую длину вытянется полоска, составленная из всех миллиметровых квадратиков одного квадратного метра, приложенных друг к другу вплотную.

Сообразите в уме, на сколько километров возвышался бы столб, составленный из всех миллиметровых кубиков одного кубометра, положенных один на другой.

Аэроплан шириною 12 м был сфотографирован во время полета снизу, когда он пролетал отвесно над аппаратом. Глубина камеры 12 см. На снимке ширина аэроплана равна 8 мм. На какой высоте летал аэроплан в момент фотографирования?

Изделие весит 89,4 г. Сообразите в уме, сколько тонн весит миллион таких изделий.

На рис. 137 вы видите лесную дачу, разделенную просеками на квадратные кварталы. Пунктирной линией обозначен путь по просекам от точки А до точки В. Это, конечно, не единственный путь между указанными точками по просекам. Сколько можете вы насчитать различных путей одинаковой длины?

Этот циферблат (рис. 138) надо разрезать на 6 частей любой формы, — так, однако, чтобы сумма чисел, имеющихся на каждом участке, была одна и та же. Задача имеет целью испытать не столько вашу находчивость, сколько быстроту соображения.

Числа от 1 до 16 надо расставить в точках пересечения линий фигуры, изображенной на рис. 139 так, чтобы сумма чисел на стороне каждого квадрата была 34, и сумма их на вершинах каждого квадрата также составляла 34.

Цифры от 1 до 9 надо разместить в фигуре на рис. 140 так, чтобы одна цифра была в центре круга, прочие — у концов каждого диаметра, и чтобы сумма трех цифр каждого ряда составляла 15.

Существует мнение, что стол о трех ногах никогда не качается, даже если ножки его и неравной длины. Верно ли это?

Какие углы составляют между собой стрелки часов на рис. 141? Ответ надо дать по соображению, не пользуясь транспортиром.

Если бы мы могли обойти земной шар по экватору, то макушка нашей головы описала бы более длинный путь, чем каждая точка наших ступней. Как велика эта разница?

Расставить 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.

На рис. 142 вы видите подобие фашистского знака. Покажите, как двумя сабельными ударами разрубить его на такие 4 части, из которых составляется квадрат концентрационного лагеря — истинный символ фашизма.

На рис. 143 изображена фигура полумесяца, составленная двумя дугами окружностей. Требуется начертить знак Красного креста, площадь которого геометрически точно равнялась бы площади полумесяца.

Многие любители русской литературы не подозревают, что поэт В. Г. Бенедиктов является автором первого на русском языке сборника математических головоломок. Сборник этот не был издан; он остался в виде рукописи и был разыскан лишь в 1924 г. Предлагаемая далее задача, обработанная поэтом в беллетристической форме, заимствована мною из этого сборника. Она озаглавлена «Хитрое разрешение мудреной задачи». «Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя к продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трех дочерей своих и, вверив старшей и самой смышленой из них десяток, поручила другой три десятка, а третьей полсотни. При этом она сказала им: — Условьтесь наперед между собой насчет цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайте; все вы крепко держитесь одной и той же цены; но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышлености, даже и при общем между вами условии, по какой цене продавать, сумеет выручить столько за свой десяток, сколько вторая выручит за три десятка, да научит и вторую сестру выручить за ее три десятка столько же, сколько младшая за полсотни. Пусть выручки всех троих да цены будут одинаковы. Притом я желала бы, чтобы вы продали все яйца так, чтобы пришлось круглым счетом не меньше 10 коп. за десяток, а за все 9 десятков — не меньше 90 коп., или 30 алтын».