Перельман1923.510

Перельман1923.510: Перельман Я.И. Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений. — Москва-Петроград: Государственное издательство, Типография имени Н. Бухарина, — 176с.

 
 Kole2023p157         Kole2023p158      Kole2023p159        Kole2023p196

https://perelman.wiki/Perelman_pdf/Perelman1923/Перельман_Практические_занятия_Геометрии.pdf.html

Template:Перельман1923.510

Задачи из обиходной жизни

Задача 1

В каком месте незастроенного треугольного двора нужно поместить фонарь, чтобы все три угла двора были освещены им одинаково?
(Практические задания по геометрии,1923:19;Задача 1)

Задача 2

В серединетрех сторон четыреугольного незастроенного участка имеются ворота. Где внутри двора находится место, одинаково удаленное от всех ворот?
(Практические занятия по геометрии,1923:19-20;Задача 2)

Задача 3

При так называемой фигурной пахоте плугом пахарь проводит борозды вдоль межников поля, начиная пахать с краев участка. Становясь у какого-нибудь угла полевого клина, пахарь начинает пахать, отваливая пласт борозды на соседний участок, и дойдя до другого угла, поворачивает вдоль другой стороны; так обходит он весь участок, возвращаясь к углу, с которого была начата борозда. Вторую борозду он проводит рядом с первою, сваливая пласт на первую сторону. Проводя борозду за бороздой, пахарь продвигается внутрь участка, пока не распашет его до конца. Можете ли вы приблизительно указать заранее то место внутри треугольного полевого клина, где фигурная пахота должна окончиться?
(Практические занятия по геометрии,1923:20;Задача 3)

Задача 4

Громоотвод защищает от молнии все предметы, расположенные от его основания не далее его двойной высоты. Где на треугольном участке выгоднее всего поместить громоотвод, чтобы высоту его можно было сделать наименьшею?
(Практические занятия по геометрии,1923:20;Задача 4)

Задача 5

Вдоль трех сторон многоугольного участка течет канава. Как найти внутри участка место, одинаково удаленное от воды?
(Практические занятия по геометрии,1923:20;Задача 5)

Задача 6

Желая проверить, имеет ли отрезанный кусок материи форму квадрата, швея убеждается, что при перегибании по диагоналям края обеих частей совпадают. Достаточная ли такая проверка?
(Практические занятия по геометрии,1923:21;Задача 6)

Задача 7

Переплетчик для проверки того, имеет ли вырезанный из картона четыреугольник прямые углы, убеждается, что диагонали его равны. Достаточная ли такая проверка?
(Практические занятия по геометрии,1923:21;Задача 7)

Задача 8

Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четыреугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали его равны и встречаются под прямым углом. Достаточная ли такая проверка?
(Практические занятия по геометрии,1923:21;Задача 8)

Задача 9

Какова приблизительно толщина дерева «в два обхвата»?
(Практические занятия по геометрии,1923:22;Задача 9)

Задача 10

Стакан вплотную обставлен соприкасающимися с ним и между собою стаканами такой же величины. Сколько их?
(Практические занятия по геометрии,1923:22;Задача 10)

Задача 11

Чтобы горячий чай остыл быстрее, его переливают в блюдце. Во сколько раз увеличивается при этом свободная поверхность чая?
(Практические занятия по геометрии,1923:22;Задача 11)

Задача 12

Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?
(Практические занятия по геометрии,1923:23;Задача 12)

Задача 13

Имеются два цилиндрических бревна. Одно 4 вершка в толщину и 1 1/2 аршина в длину. Другое на вершок толще, но на пол-аршина короче. Какое больше в объеме?
(Практические занятия по геометрии,1923:24;Задача 13)

Задача 14

Во сколько раз объем мясистой части вишни больше объема косточки? Толщину слоя мякоти принять равной ширине косточки.
(Практические занятия по геометрии,1923:24;Задача 14)

Задача 15

Какие яйца выгоднее покупать: 60-миллиметровые (длина) по 1 рублю или 55-миллиметровые по 75 копеек?
(Практические занятия по геометрии,1923:24;Задача 15)

Задачи из техники и сельского хозяйства

Задача 16

При постройке кровель, мостов, подъемных кранов и т. п. сооружений скрепляют опорные брусья или балки так, чтобы они образовали систему треугольников. Почему такое расположение балок лучше обеспечивает неизменность формы сооружения, нежели иное? 
(Практические занятия по геометрии,1923:28;Задача 16)

Задача 17

Окружная (линейная) скорость точильного камня не должна, при правильной работе, превышать 44 фута в сек. Определить наибольшее допустимое число оборотов в минуту для точильного камня, имеющего в диаметре 3 фута. 
(Практические занятия по геометрии,1923:29;Задача 17)

Задача 18

Почему передняя ось телеги обыкновенно больше стирается и чаще загорается, нежели задняя. Указание: обратить внимание на сравнительные размеры передних и задних колес.
(Практические занятия по геометрии,1923:30;Задача 18)

Задача 19

Наклон почвы не замечается нами, если высота подъема не превышает 1/24 его основания ("заложения"). Сколько приблизительно градусов в угле такого наклона?
(Практические занятия по геометрии,1923:30;Задача 19)

Задача 20

Вариант. Для русских железных дорог принят предельный уклон в 0,008. Для Закавказской железной дороги допущены, в виде исключения, уклоны до 0,025 Каким углам, в градусной мере, соответствуют эти уклоны?
(Практические занятия по геометрии,1923:31;Задача 20)

Задача 21

Можно ли из бревна толщиною в узком конце 9 1/2 дюймов выпилить квадратный острокантный (т. е. без притупленных углов, "обливин") брус в 7 дюймов ширины?
(Практические занятия по геометрии,1923:31;Задача 21)

Задача 22

Обширные огородные площади часто засаживаются без грядок, сплошь, так чтобы растения размещались либо на вершинах равносторонних треугольников ("сам-третей"), либо на вершинах квадратов. Какая посадка гуще (оценить разницу в %), если взаимное расстояние между растениями в обоих случаях одинаково?
(Практические занятия по геометрии,1923:31-32;Задача 22)

Задача 23

Длина хорды, стягивающей дугу железнодорожного закругления, равна 100 м. "Стрелка" дуги (т. е. высота соответствующего сегмента) равна 2,5 метра. Найти радиус закругления.
(Практические занятия по геометрии,1923:33;Задача 23)

Задача 24

Может ли латунная проволока в 2,5 миллиметра толщины выдержать груз в 10 пудов, если предельная нагрузка при растяжении для латуни составляет 400 пуд. на кв. см?
(Практические занятия по геометрии,1923:34;Задача 24)

Задача 25

При какой длине латунная проволока разрывается собственным весом? Куб. см латуни вести 9 граммов.
(Практические занятия по геометрии,1923:34;Задача 25)

Задача 26

Согласно русских дорожных правил, щебень на шоссейных дорогах должен укладываться в конические кучи следующих размеров.

высота              окружность
1 арш. 12 вершк.    17 арш. 1 вершк.
1 арш. 7 вершк.     13 арш. 3 вершк.
1 арш. 1½ вершк.    10 арш. 13 вершк. 
    
Определить объем таких куч.
(Практические занятия по геометрии,1923:35;Задача 26)

Задача 27

Уменьшенная деревянная модель проектируемого железного сооружения имеет в высоту 20 см и весит 240 граммов. Сооружение должно иметь в высоту 30 метров. Определить вес сооружения. Железо тяжелее дерева в 16 раз. 
(Практические занятия по геометрии,1923:35;Задача 27)

Задача 28

В цилиндре паровой машины пар давит на поршень с силою 80 фунтов на каждый квадр. дюйм. Диаметр поршня - 14 дюйм. Толщина штока поршня - 1 1/4 дюйма. Как велико полное давление пара на поршень?
(Практические занятия по геометрии,1923:35;Задача 28)

Задача 29

На практике объем бревен часто определяют следующим упрощенным приемом: измеряют в дюймах диаметр бревна посредине, возводят это число в квадрат, умножают на боковую длину бревна в футах и результат делят на число 183. Получается объем в футах. Проверить этот прием, сравнив результат с тем, который получается, если за объем бревна принять объем цилиндра, диаметр которого равен диаметру бревна посередине, высота - боковой длине бревна.
(Практические занятия по геометрии,1923:36;Задача 29)

Задача 30

Жестяники и столяры нередко пользуются следующим приемом для определения длины окружности: откладывают на прямой 6 раз радиус данной окружности и прибавляют высоту меньшего сегмента, отрезаемого стороной вписанного квадрата. Проверить этот прием.
(Практические занятия по геометрии,1923:37;Задача 30)

Задача 31

Из всех брусьев, какие возможно вырезать из данного бревна, наибольшей прочностью отличается тот, у которого отношение сторон прямоугольного сечения  $={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ . На практике профиль такого бруса получают следующим образом: делят диаметр бревна на три равные части и в точках деления восставляют, в противоположные стороны, перепендикуляры до пересечения с окружностью; последние точки соединяют с концами диаметра. Доказать: 1. что при этом получается прямоугольник, 2. что стороны его относятся, как  $={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ .
(Практические занятия по геометрии,1923:37-38;Задача 31)

Задача 32

Вариант. В балке наибольшей жесткости (дающей наименьший прогиб), какую можно вырезать из данного бревна, стороны прямоугольного сечения должны относиться, как 1 к  ${\sqrt {3}}$ . Указать графический способ получения такого профиля.
(Практические занятия по геометрии,1923:38;Задача 32)

Задача 33

Для быстрого определения радиуса закругления уложенного рельсового пути профодят касательную к внутреннему рельсу и измеряют длину отрезка этой касательной, заключающегося между точками ее пересечения с наружным рельсом. Половину этой длины возвышают в квадрат и делят на ширину колеи (0,714 саж.) Результат дает диаметр дуги закругления в саженях. Проверить это правило.
(Практические занятия по геометрии,1923:38-39;Задача 33)

Задача 34

По той же формуле можно вычислять расстояния точек дуги от касательной, проведенной через середину дуги.
(Практические занятия по геометрии,1923:40;Задача 34)

Задача 35

Ниже приведены некоторые выдержки из таблицы для определения радиуса железно-дорожного закругления по хорде и стрелке. Требуется проверить данные и заполнить места, обозначенные знаками вопроса.
(Практические занятия по геометрии,1923:41;Задача 35)

Задача 36

Сходный материал для упражнений доставляет таблица для разбивки закруглений помощью перпендикуляров к касательной. Требуется проверить правильны ли данные этой таблицы.
(Практические занятия по геометрии,1923:42-43;Задача 36)

Задачи из геграфии и землеведения

Задача 37

Какого диаметра должен быть глобус, чтобы одна минута его меридиана равнялась 1 миллиметру? Во сколько раз его диаметр меньше диаметра Земли?
(Практические занятия по геометрии,1923:52;Задача 37)

Задача 38

Землетрясения распространяются по земной поверхности со скоростью до 800 метров в секунду. Какую площадь может охватить землетрясение через 1 минуту после своего возникновения (кривизны земной поверхности в расчет не принимать).
(Практические занятия по геометрии,1923:52;Задача 38)

Задача 39

"Относительным развитием береговой линии" материка или острова называется в географии отношение длины береговой линии к длине окружности круга, равновеликого данному материку или острову. - Определить относительное развитие береговой линии Австралии; длина ее береговой линии - 20 000 км, площадь - 7 600 000 кв. километров.
(Практические занятия по геометрии,1923:53;Задача 39)

Задача 40

Определить относительное развитие береговой линии Европейско-Азиатского материка (см. пред. задачу). Береговая линия его 108 000 км, площадь - 50 700 000 кв. км.
(Практические занятия по геометрии,1923:53;Задача 40)

Задача 41

Две точки поверхности Великого океана, лежащие на экваторе в 60˚ одна от другой, соединены прямой линией. Проходит ли эта линия целиком в воде, или частью расположена под дном океана? (Наибольшая глубина Великого океана не превосходит 10 км). Какую форму имеет в общем дно этого океана - вогнутую, плоскую или выпуклую? Радиус земного шара 6400 км.
(Практические занятия по геометрии,1923:53;Задача 41)

Задача 42

Какова форма дна - выпуклая или вогнутая - у моря, простирающегося по меридиану (или по дуге большого круга) на 5˚ и имеющего равномерную глубину 200 метров? (Длину хорды, стягивающую дугу в 5˚, можно для приближенных вычислений принять равной длине дуги). - Какого должно быть протяжение моря по меридиану, чтобы, имея наибольшую глубину посередине в 100 метров, оно могло иметь плоское дно?
(Практические занятия по геометрии,1923:54;Задача 42)

Задача 43

Подобными приемами проверяем другие данные ("Курс физической географии" проф. П. И. Броунова).
(Практические занятия по геометрии,1923:56;Задача 43)

Задача 44

Вычислить наибольшее возвышение водной выпуклости озера над линией, соединяющей две противоположные точки берега, расположенные на расстоянии 130 км друг от друга (устье Вуоксы и Олонки на Ладожском озере).
(Практические занятия по геометрии,1923:56;Задача 44)

Задача 45

Средняя глубина всех океанов - 4 километра. Зная, что океаны покрывают 70% общей поверхности земного шара, найти объем всей воды океанов.
(Практические занятия по геометрии,1923:56;Задача 45)

Задача 46

Какого диаметра шар образовался бы из воды всех океанов?
(Практические занятия по геометрии,1923:57;Задача 46)

Задача 47

Во время землетрясений измеряют c помощью особых приборов тот угол, под которым в данном месте подземный толчок встретил горизонтальную поверхность земли ("угол выхождения"). 
Допустим, что в некотором случае этот угол равнялся 30°, а место вершины угла было удалено на 300 километров от того места на земной поверхности, где землетрясение началось раньше всего (оно называется "эпицентром"). Определите, как глубоко под земной поверхностью залегает тот очаг, из которого исходили в указанном случае подземные толчки. (Предполагается, что в толще коре толчок распространяется прямолинейно).
(Практические занятия по геометрии,1923:57-58;Задача 47)

Задача 48

Туннель прорыт по прямой линии и имеет в длину 15 км (Симплонский - 20км). Вычислить глубину залегания его средней точки под горизонтальной линией, проведенной через его концы.
(Практические занятия по геометрии,1923:58;Задача 48)

Задача 49

"При обыкновенном дожде вес капель не превышает 0,065 грамма. Визнер на острове Яве во время сильнейшего дождя определил средний вес капель в 0,16 грамма" (Клоссовский, Основы метеорологии). Определить соответствующие этим данным поперечники дождевых капель, считая их форму строго шарообразной. Куб. см воды весит 1 грамм.
(Практические занятия по геометрии,1923:59;Задача 49)

Задача 50

При охлаждени насыщенного водяного пара от 15° до 14° один куб. метр его выделяет 0,75 граммов воды. Принимая, что образующиеся при этом капли имеют в диаметре 0,5 мм, вычислить, сколько капель выделяет при таком охлаждении каждый кубический метр воздуха, насыщенного водяным паром.
(Практические занятия по геометрии,1923:59;Задача 50)

Задача 51

"Порозность (скважность) почв является результатом неплотного прилегания частиц почвы друг к другу, вследствие чего между ними остаются большей или меньшей величины промежутки или поры. Если представить себе, что почвенные частицы имеют вид шаров одинакового размера, то в определенном объеме эти частицы могут быть расположены так, что объем промежутков между шарами будет наибольший (рыхлое сложение), или наименьший (плотное сложение). В первом случае шары каждого верхнего ряда буду соприкасаться с шарами нижнего ряда верхушками, во втором - каждый шар верхнего ряда помещается (частью) в промежутке, образованном двумя шарами нижнего ряда." (Проф. К. Д. Глинка "Почвоведение") - Вычислить, какой процент общего объема почвы одлжен составлять объем пор в наиболее рыхлом сложении?
(Практические занятия по геометрии,1923:60;Задача 51)

Задачи из мироведения

Задача 52

Земля и Марс обращаются вокруг Солнца по почти круговым путям на расстоянии 150 и 230 миллионов километров. Во сколько раз при наибольшем приближении к Земле Марс ближе к нам, чем при наибольшем его удалении от нас?
(Практические занятия по геометрии,1923:68;Задача 52)

Задача 53

В связи с этим можно поставить вопрос о пределах видимой величины диска Марса, зная, что истинный диаметр этой планеты равен 0,54 земного.
(Практические занятия по геометрии,1923:68;Задача 53)

Задача 54

Юпитер обращается вокруг Солнца на большем от него расстоянии, нежели Земля. Диск этой планеты виден с Земли под углом, который, в зависимости от положения Юпитера, изменяется от 46″ до 31″. Во сколько раз Юпитер дальше от Солнца, нежели Земля?
(Практические занятия по геометрии,1923:69;Задача 54)

Задача 55

Астрономами определен (косвенными приемами) угол, под которым земной шар должен усматриваться с Солнца: он оказался равным 17,6″. Принимая диаметр Земли равным 12 800 км, вычислить среднее расстояние от Земли до Солнца.
(Практические занятия по геометрии,1923:70;Задача 55)

Задача 56

Диск Солнца усматривается с Земли в среднем под углом в 32″. Зная расстояние Земли от Солнца - 150 миллионов километров - вычислить величину истинного диаметра Солнца.
(Практические занятия по геометрии,1923:71;Задача 56)

Задача 57

Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 109 раз. Среднее расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 км. Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром.
(Практические занятия по геометрии,1923:71;Задача 57)

Задача 58

Определить ширину земной тени в том месте, где в моменты затмений в нее вступает Луна. Луна обращается вокруг Земли на среднем расстоянии 380 000 км от центра Земли.
(Практические занятия по геометрии,1923:72;Задача 58)

Задача 59

Каков диаметр планеты (астероида), поверхность которой равна поверхности Петрограда (91 кв. км).
(Практические занятия по геометрии,1923:74;Задача 59)

Задача 60

Во сколько раз Солнце по объему превосходит объемы всех планет, вместе взятых? Диаметр Меркурия составляет 0,4 земного, Венеры - равен земному, Марса - 0, 5, Юпитера - в 11 раз больше земного, Сатурна в 9 раз больше, Урана - в 5 раз больше, Нептуна в 4 раза больше, А Солнца - в 109 раз больше.
(Практические занятия по геометрии,1923:74;Задача 60)

Задача 61

Известно около 1000 малых планет (астероидов), обращающихся между Марсом и Юпитером. Высказывалось предположение, что все они появились в результате разрушения одной планеты. Вычислить диаметр этой предполагаемой планеты, принимая, что средний диаметр астероидов - 50 км и что нам известна только десятая часть всех существующих астероидов.
(Практические занятия по геометрии,1923:74;Задача 61)

Задача 62

Вообразим, что земной шар вытянут в цилиндрическую нить длиною от Земли до Солнца. Какой толщины была бы эта нить?
(Практические занятия по геометрии,1923:74;Задача 62)

Задачи из физики

Задача 63

Дирижабль обладает в спокойном воздухе скоростью 100 км в час. Начертить границы области, точки которой могут быть достигнуты дирижаблем в течении часа при скорости ветра: 1) в 60 километров в час; 2) 100 километров, 3) 150 километров.
(Практические занятия по геометрии,1923:80;Задача 63)

Задача 63а

Какую форму имеют волны от брошенного камня. в текучей воде?
(Практические занятия по геометрии,1923:83;Задача 63а)

Задача 64

Уровень с воздушным пузырьком представляет собою вделанную в оправу стеклянную трубку, изогнутую по дуге круга и наполненную жидкостью; в ней оставляется пузырек воздуха, который, при горизонтальном положении основания уровня, занимает высшую точку трубки, т. е. ее середину. Если радиус дуги, по которой изогнута трубка, равен 2 метрам, то насколько отодвинется пузырек от середины при наклонении прибора 1/2˚?
(Практические занятия по геометрии,1923:83;Задача 64)

Задача 65

Лесная поляна имеет форму ромба. В какой точек на ней нужно поместиться, чтобы одновременно услышать эхо своего возгласа от всех стен леса?
(Практические занятия по геометрии,1923:84;Задача 65)

Задача 66

Чтобы видеть себя в зеркале в отвесном положении во весть рост, вовсе не необходимо иметь зеркало высотою в рост человека: для этого достаточно зеркала в половину человеческого роста. Доказать это. 
(Практические занятия по геометрии,1923:85;Задача 66)

Задача 67

Аэроплан шириною 12 метров был сфотографирован во время полета снизу, когда он пролетал отвесно над аппаратом. Глубина камеры 12 см. На снимке ширина аэроплана равна 8 мм. На какой высоте летал аэроплан в момент фотографирования?
(Практические занятия по геометрии,1923:85;Задача 67)

Задача 68

Почему принято считать лучи Солнца, падающие на Землю (или другую планету), параллельными между собою? Вычислите, какой наибольший угол могут составить между собою два луча, исходящие из одной точки Солнца и падающие на земную площадку, ширина которой 1 км?
(Практические занятия по геометрии,1923:86;Задача 68)

Задача 69

На каждый кв. см земной поверхности опирается столб атмосферы, весящий 1 килограмм. Сколько весит вся земная атмосфера? Окружность Земли - 40 000 000 метров.
(Практические занятия по геометрии,1923:86;Задача 69)

Задача 70

Может ли плавать в воде полый медный шар, наружный диаметр которого 12 см, а толщина стенок -  $1{\frac {1}{2}}$  см. (Тела плавают лишь в том случае, когда весят меньше равного объема воды). 1 куб. см меди весит 9 граммов.
(Практические занятия по геометрии,1923:86-87;Задача 70)

Задача 71

Почему лучина загорается быстрее, чем целое полено, от которого она отколота?
(Практические занятия по геометрии,1923:87;Задача 71)

Задача 72

Два котла, большой и малый, одинакового материала и формы (или два самовара), наполнены кипятком. Какой остынет скорее?
(Практические занятия по геометрии,1923:88;Задача 72)

Задача 73

Верховой должен прибыть из точки А в точку С, отделенную от него полосой песку шириною 2 км т полосой луга шириною 3 км. Скорость его на песчаной почве вдвое меньше, чем на лугу. Доказать, что путь по ломаной линии АМС (когда ЕМ = 1 км) быстрее приведет к точке С, нежели путь по прямой АС или по ломаной АЕС. Расстояние ВС = 7 км.
(Практические занятия по геометрии,1923:89;Задача 73)

Задачи из живой природы

Задача 74

В квадратном дюйме пчелиных сотов можно насчитать в среднем 23 ячейки, имеющих форму равных правильных шестиугольников. Определить длину каждой стороны ячейки.
(Практические занятия по геометрии,1923:94;Задача 74)

Задача 75

Школьный микроскоп увеличивает в 50 раз. Можно ли в него рассмотреть красные тельца нашей крови, имеющие в ширину 0,007 мм?
(Практические занятия по геометрии,1923:95;Задача 75)

Задача 76

О красных кровяных тельцах ("шариках") читаем в „Курсе физиологии животных и человека" проф. Б. ф. Вериго следующее: «Каждый шарик может поглощать и выделять кислород только с поверхности. Поэтому физиологическое функционирование шариков в крови животного должно быть тем успешнее, чем больше общая их поверхность. А эта последняя тем больше, чем мельче раздроблено их вещество и чем больше, соответственно этому, их число. Физиологи, на основании приблизительного определения поверхности каждого шарика в крови человека, а также принимая во внимание, что в одном кубическом миллиметре крови у человека 5 000 000 шариков, и что количество крови взрослого человека равняется приблизительно 5 литрам, вычислили, что общая поверхность всех находящихся в крови человека красных шариков равняется 3200 квадратных метров, - что и могло быть достигнуто исключительно благодаря измельчанию шариков".
Проверить указанную величину общей поверхности красных кровяных телец человека, зная, что каждый так называемый "шарик" имеет(вопреки названию) форму игральной шашки, шириною 0,007 миллиметра а толщиною 0,002 мм.
(Практические занятия по геометрии,1923:95-96;Задача 76)

Задача 77

При каждом ударе сердце человека выталкивает 175 куб. см крови. Сердце делает 75 ударов в минуту. Каких размеров кубический сосуд потребовался бы, чтобы вместить количество крови, перекачиваемое сердцем в течение суток?
(Практические занятия по геометрии,1923:96;Задача 77)

Задача 78

Зрачок человеческого глаза может изменять свой диаметр (в зависимости от яркости освещения) от 2 до 9 мм. Во сколько раз расширенный зрачок пропускает больше света, чем суженный?
(Практические занятия по геометрии,1923:97;Задача 78)

Задача 79

Поверхность тела взрослого человека, весящего 65 кг, равна в среднем 2 кв. метрам. Как велика поверхность тела человека, весящего 50 кг?
(Практические занятия по геометрии,1923:97;Задача 79)

Задача 80

Лист одуванчика из тенистого места имеет в длину 31 см; лист другого экземпляра, вы- росшего на солнце, имеет в длину 6,2 см. Bo сколько раз первый лист имеет большую площадь?
(Практические занятия по геометрии,1923:98;Задача 80)

Задача 81

(Задача, обратная предыдущей). Площадь листа тополя от корневой поросли, в тени, и такой же формы лист с поверхности кроны были измерены палеткой (сетка из квадратиков определенного размера (миллиметр; 0,1 дюйма), начерченная на прозрачной бумаге). Первый лист оказался по площади в 20 раз больше второго. Во сколько раз первый лист шире второго?
(Практические занятия по геометрии,1923:98;Задача 81)

Задача 82

Из двух липовых деревьев одинаковой формы одина на 25% длиннее другого. На сколько % разнятся их площади?
(Практические занятия по геометрии,1923:99;Задача 82)

Задача 83

На березе 200 000 листьев. Поверхность каждого (одна сторона) - в среднем 15 кв. см. Вычислить сторону квадрата, имеющего площадь, раную общей площади всех листьев березового дерева.
(Практические занятия по геометрии,1923:99;Задача 83)

Задача 84

Сила насекомых, по сравнению с весом их тела, весьма велика. Муха поднимает лапками спичку, т. е. груз, во столько же раз больший веса ее тела, во сколько раз деревянный квадратный брус в 4 сажени длины и поларшина толщины больше веса человеческого тела (в 10 раз).
Жук-олень (5 см длины) волочит груз, в 50 раз превышающий вес его тела, а жук-геркулес (до 15 см длины) удерживает на спине груз в 40 раз более тяжелый, чем он сам; такой, относительно, груз - 150-200 пудов - конечно, раздавил бы человека. Выяснить соотношение мышечной силы человека и насекомых, принимая во внимание следующую особенность мышц: "В виду того, что каждая мышца состоит из большего или меньшего числа располагающихся параллельно друг другу мышечных волокон, из которых каждое своим сокращением принимает свою долю участия в приподнимании груза, - мы должны признать, что величина абсолютной силы мыщцы должна стоять в зависимости от числа образующих мышцу мышечных волокон, то есть от площади поперечного разреза мышцы" (проф. Б. Ф. Вериго).
(Практические занятия по геометрии,1923:99-100;Задача 84)

Особые задачи

Задача 85

Телеграфный столб, толщиною 6 вершков, покрывается ногтем вытянутой руки. Как велико, приблизительно, расстояние до него?
(Практические занятия по геометрии,1923:104;Задача 85)

Задача 86

Для приблизительной оценки угловой величины отдаленных предметов в "Справочной книге для путешественников" рекомендуется пользоваться следующими приемами: "Если принять глаз за вершину угла, то линии, идущие от него к концам большого и среднего пальцев (вытянутой руки), возможно более раздвинутых, образуют угол приблизительно 15°. Если одну из линий провести через кончик мизинца, то угол получается около 18°"
Принимая первое расстояние за 17 см, второе за 20 см, при расстоянии от глаза 65 см, - проверьте, правильны ли эти указания.
(Практические занятия по геометрии,1923:106;Задача 88)

Задача 87

Как велики должны быть буквы на классной доске и на стенных таблицах, чтобы учащиеся, сидя на своих местах, видели их столь же отчетливо, как в своих тетрадях и книгах?
(Практические занятия по геометрии,1923:107;Задача 87)

Задача 88

Начертить в тетради кружок, который имел бы ту же видимую величину (т. е.  усматривался бы под тем же углом зрения), как Луна на небе. (Другая редакция: начертите, какой величины вам кажется Луна).
(Практические занятия по геометрии,1923:107;Задача 88)

Задача 89

Кружок с диаметром в 1˝, видимый с Земли на лунной поверхности, содержит в себе около  $2{\frac {1}{4}}$  кв. верст (Дж. Гершель, "Очерки Астрономии"). Проверить это утверждение.
(Практические занятия по геометрии,1923:109;Задача 89)

Задача 90

Если есть жители на обращенной к нам стороне Луны, то Земля должна представляться им в виде диска с диаметром в 2˚. Проверить это утверждение.
(Практические занятия по геометрии,1923:109;Задача 90)

Задача 91

Заслуживает ли доверия показание свидетеля, утверждающего, что он невооруженным глазом различил лицо обвиняемого с расстояния 500 шагов?
(Практические занятия по геометрии,1923:111;Задача 91)

Задача 92

Может ли человек среднего роста, с нормальной остротой зрения, стоя на совершенно ровном месте, видеть, как железнодорожные рельсы сходятся вдали в одну точку? (Расстояние между рельсами нормальной колеи - 5 фут.; дальность горизонта для человека среднего роста на горизонтальной поверхности -  $4{\frac {1}{2}}$  версты).
(Практические занятия по геометрии,1923:112;Задача 92)

Задача 93

Если бы на Луне существовали жители таких же размеров, как и мы, то можно ли было бы различить их с Земли в сильнейший современный телескоп, увеличивающий в 1000 раз? Каких размеров должны быть здания на Луне, чтобы их можно было различить с Земли в такой телескоп? Если бы на Луне имелось сооружение размерами с крупный океанский пароход (около 200 метров длины), то могли ли бы мы видеть его в сильнейший современный телескоп?
(Практические занятия по геометрии,1923:112;Задача 93)

Задача 94

Как далеко видите вы кругом себя, стоя на ровной местности или в лодке на воде?
(Практические занятия по геометрии,1923:115;Задача 94)

Задача 95

Проверьте следующую применяемую в морской практике формулу вычисления дальности горизонта:
дальность горизонта в км =  $3,6{\sqrt {h}}$ , где  $h$  - возвышение глаза в метрах.
(Практические занятия по геометрии,1923:116;Задача 95)

Задача 96

Как далеко видит авиатор с высоты 2 км?
(Практические занятия по геометрии,1923:116;Задача 96)

Задача 97

Дальность видимости предмета, - т. е. расстояние до него в море в тот момент, когда он появляется из-под горизонта наблюдателя, глаз которого находится на уровне моря, - часто в морской практике определяют упрощенно по правилу: дальность в морских милях равна квадратному корню из высоты предмета в футах. - Проверить это правило.
(Практические занятия по геометрии,1923:117;Задача 97)

Задача 98

Чему равна дальность видимости маяка в 50 метров высоты для наблюдателя, глаз которого помещен близ уровня воды?
(Практические занятия по геометрии,1923:117;Задача 98)

Задача 99

На каком расстоянии откроется тот же маяк для матроса ("марсового"), сидящего на "марсе" корабля, если глаз его на 15 метров выше уровня воды?
(Практические занятия по геометрии,1923:117;Задача 99)

Задача 100

Верхушка берегового маяка, высотою 700 метров (высоты всех маяков известны морякам, которые различают маяки по характеру их света), замечен над горизонтом матросом, находившимся на марсе, на высоте 20 метров над водой. Вычислить расстояние корабля от маяка.
(Практические занятия по геометрии,1923:118;Задача 100)

Задача 101

Молния сверкнула в небе, прямо над головой наблюдателя ("в зените") на высоте 2 км (расстояние легко определить по запаздыванию звука). Как далеко расположены места на поверхности земли, где та же молния была видна на горизонте?
(Практические занятия по геометрии,1923:118-119;Задача 101)

Задача 102

С какой высоты можно видеть на 200 км?
(Практические занятия по геометрии,1923:119;Задача 102)

Задача 103

Необходимо проверить и пополнить приведенную таблицу дальности и горизонта.
(Практические занятия по геометрии,1923:119;Задача 103)

Задача 104

Формулой дальности горизонта можно воспользоваться и для определения (приблизительного) радиуса земного шара, если дальность горизонта на совершенно ровном месте измерена. Во время экскурсии, при благоприятной обстановке, можно попытаться осуществить подобное измерение. Учащиеся должны сами разработать план выполнения этого предприятия.
(Практические занятия по геометрии,1923:120;Задача 104)

Задача 105

Определить дальность горизонта для человека среднего роста, перенесенного на одну из равнин Луны.
(Практические занятия по геометрии,1923:120;Задача 105)

Задача 106

Как велико понижение горизонта для наблюдателя, находящегося на вершине Эйфелевой башни? Высота башни 300 метров.
(Практические занятия по геометрии,1923:120;Задача 106)

Задача 107

Расходы одного ведомства составляли в 1907 г. 1 397,1 тыс. рублей, а в 1912 г. -      2 354,7 тыс. рублей. Величина этих расходов была представлена на диаграмме в виде денежных шкафов различных размеров. Правильно ли это изображение?
(Практические занятия по геометрии,1923:126;Задача 107)

Задача 108

Представить отношение 1:2:3 трояко:
1. в виде отношений длин отрезков;
2. в виде отношений площадей кругов;
3. в виде отношений люъемов шаров.
(Практические занятия по геометрии,1923:127;Задача 108)

Задача 109

Куб. сажень = 9,7 куб. метра. Какую долю куб. сажени составляет 1 куб. метр?
(Практические занятия по геометрии,1923:139;Задача 109)

Задача 110

При обмере угодий в усадьбе получены были следующие результаты:
пахотной земли..........150 десятин
леса....................112,5
луга....................50
После обмера было обнаружено, что мерная цепь вытянута и заключала на 16,8 дюйма больше, чем 10 сажен. Как следует исправить результаты измерения?
(Практические занятия по геометрии,1923:140;Задача 110)

Задача 111

При обмере кубатуры (объема) корабельного трюма пользовались метром, который, как впоследствии обнаружилось, был на 1/2 сантиметра короче истинного метра. Как надо изменить результат, чтобы получить правильную кубатуру?
(Практические занятия по геометрии,1923:140;Задача 111)

Задача 112

Возвышение наблюдателя над землей увеличилось на 1%. На сколько процентов увеличилась дальность его горизонта?
(Практические занятия по геометрии,1923:141;Задача 112)

Задача 113

В январе земной шар на 7 миллионов километров ближе к Солнцу, нежели в июле. Какова разница в силе солнечного освещения, если известно, что сила освещения убывает пропорционально квадрату расстояния? Среднее расстояние от Земли до Солнца - 150 миллионов км.
(Практические занятия по геометрии,1923:141;Задача 113)

Задача 114

Найти объем бревна, средняя толщина которого 2 дециметра, а длина 21 дециметр (одна сажень).
(Практические занятия по геометрии,1923:143;Задача 114)

Задача 115

Найти поверхность и объем земного шара, зная, что диаметр его. 13 000 км.
(Практические занятия по геометрии,1923:143;Задача 115)

Задача 116

Найти объем километра проволоки в  $1{\frac {1}{2}}$  миллиметра толщиной.
(Практические занятия по геометрии,1923:144;Задача 116)

Задача 117

Чтобы построить прямой угол на местности, древние индусы строили на земле треугольник с отношением сторон 5:12:13 или 8:15:17. Получался ли при этом прямой угол и против какой стороны?
(Практические занятия по геометрии,1923:144;Задача 117)

Задача 118

В сочинении Архимеда "О сфере и цилиндре" находим следующие утверждения:
"Шар (по объему) в 4 раза больше конуса, который имеет основание большой круг этого шара и высота которого равна радиусу этого шара".
"Цилиндр, основанием которого служит большой круг шара, а высота равна его диаметру, в полтора раза больше (по объему), чем шар".
Показать справедливость этих утверждений.
(Практические занятия по геометрии,1923:145;Задача 118)

Задача 119

Герону Александрийскому приписывают следующее приближенное выражение для площади равностороннего треугольника со стороной a: она равна  ${\frac {13}{30}}$   $a^{2}$ . Проверьте это правило.
(Практические занятия по геометрии,1923:145;Задача 119)

Задача 120

В древне-индусском сочинении по математике находим следующий способ черчения круга, равновеликого данному квадрату. Если, например, нужно начертить круг, равновеликий квадрату ABCD, то из центра квадрата M радиусом MA описываем дугу AE до пересечения с ME. Отрезок EG делим на три равных части (GN =  ${\frac {1}{3}}$ EG)  и из центра M радиусом MN описываем окружность. "Сколько отсекается от углов, столько прибавляется сегментами", т. е. начерченный круг равновелик квадрату.
Проверить это правило.
(Практические занятия по геометрии,1923:146;Задача 120)

Задача 121

Предполагают, что древние египтяне определяли соотношение длины окружности с помощью следующего опыта. Заготовляли два сосуда: один в форме прямого цилиндра, другой в форме квадратной призмы, причем внутренний диаметр цилиндра равнялся стороне квадрата (внутреннего). Наполнив цилиндр водой и заметив высоту уровня воды, переливали ее в призматический сосуд и также замечали высоту. Из отношения этих высот выводили, чему равно отношение длины окружности к диаметру. Как по этим данным установить искомое отношение?
(Практические занятия по геометрии,1923:147;Задача 121)

Задача 122

Средневековый арабский ученый Албируни (IX век) вычислил радиус земного шара на основании следующего измерения. Он измерил непосредственно понижение горизонта при наблюдении с вершины горы (в Индии), высотою в 652 локтя; оно оказалось равным 34´. Отсюда он вычислил длину окружности земного шара.
Каким способом выполнил он это вычисление? Чему равен арабский локоть, если считать измерение сделанным верно?
(Практические занятия по геометрии,1923:151;Задача 122)

Задачи для оживления занятий

Задача 123

Угол в 10´ рассматривается в лупу, увеличивающую в 6 раз. Какой величины кажется в при этом угол?
(Практические занятия по геометрии,1923:154;Задача 123)

Задача 124

Некто желает изготовить транспорти, на дуге которого были бы нанесены секундные деления хотя бы в толщину волоса (0,1 мм). Каков одлжен быть радиус подобного транспортира?
(Практические занятия по геометрии,1923:154;Задача 124)

Задача 125

Имеется квадратный лист миллиметровой бумаги в 1 метр ширины. Сколько времени понадобится, чтобы проставить точки в каждой клетке этого листа, полагая по одной точке всекунду и работя непрерывно 8 часов в сутки?
(Практические занятия по геометрии,1923:155;Задача 125)

Задача 126

Если бы мы могли обойти земной шар по экватору, то макушка нашей головы описала бы более длинный путь, чем каждая точка ступней. Как велика эта разница?
(Практические занятия по геометрии,1923:155;Задача 126)

Задача 127

Каких размеров потребовался бы кубический ящик, чтобы вместить всех людей на свете (1 700 миллионов), считая по 6 человек в 1 куб. метре.
(Практические занятия по геометрии,1923:155-156;Задача 127)

Задача 128

Если бы все население земного шара утонуло в Ладожском озере, то насколько поднялся бы в нем уровень воды? Поверхность Ладожского озера - 18 000 кв. км. Человеческое тело вытесняет в среднем 50 куб. дециметров.
(Практические занятия по геометрии,1923:156;Задача 128)

Задача 129

Средний палец гранитной статуи Мемнона в Египте имеет в длину 138 см. Зная, что гранит в 3 раза тяжелее человеческого тела, определить, сколько вести эта статуя.
(Практические занятия по геометрии,1923:156;Задача 129)

Задача 130

В статье Н. В. Гоголя "Об архитектуре нашего времени" находим такие строки:
"Башни огромные, колоссальные необходимы в городе... У нас обыкновенно ограничиваются высотою, дающей возможность обглядеть один только город, между тем как для столицы необходимо видеть, по крайней мере, на полтораста верст во все стороны, и для этого, может быть, один только или два этажа лишних - и все изменяется. Объем кругозора по мере возвышения распространяется необыкновенною прогрессией."
Верно ли последнее утверждение? И возможно ли сооружение башни с дальностью горизонта в 150 верст?
(Практические занятия по геометрии,1923:157;Задача 130)

Задача 131

Из „Скупого рыцаря" Пушкина:
«Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу, -
И гордый холм возвысился, и царь
Мог с вышины с весельем озирать -
И дол, покрытый белыми шатрами.
И море, где бежали корабли".
https://botan.wiki/File:Пушкин1830v3p113.png
Вычислите высоту такого холма и дальность обозреваемого с его вершины горизонта.
(Практические занятия по геометрии,1923:158;Задача 131)

Задача 132

В "Путешествии Гулливера" описана страна великанов, где линейные протяжения всех предметов в 12 раз больше нормальных. На Гулливера однажды посыпались там яблоки с дерева, и одно из них даже сшибло его с ног. Сколько примерно могло весить такое яблоко?
(Практические занятия по геометрии,1923:160;Задача 132)

Задача 133

В стране лиллипутов, посещенной Гулливером, все предметы имели линейные протяжения, в 12 раз меньше нормальных. Мог ли там Гулливер съесть за обедом целого быка?
(Практические занятия по геометрии,1923:160;Задача 133)

Геометрия во время экскурсий

Задача 134

Содержание рассказа Л. Толстого "Много ли человеку земли нужно" общеизвестно. В нем рассказывается, что крестьянину отводилось столько земли земли, сколько он успевал обежать в течение одного дня. По какому контуру ему выгоднее было бежать: по квадратному, шестиугольному (правильный шестиугольник) или по кругу?
(Практические занятия по геометрии,1923:161;Задача 134)