Игнатьев1923-3

Игнатьев Е. И. В царстве смекалки или арифметика для всех. Издание 2-е. Книга 3. - Москва-Петроград: Государственное издательство, 1925 г. - 272 с.

НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Задача 1. Одно из древнейших математических развлечений.

В Британском музее среди «коллекции Райнда» находится египетский папирус, который считается теперь чуть ли не самым древним из известных ныне людям руководством по математике. Папирус этот переведен Эйзенлором на немецкий язык в 1877 г., при чем оказалось, что он написан египтянином Ахмесом во время между 1730 и 2000 годами до нашей эры. Ахмес дает лестницу таких 5-ти чисел:
7, 49, 343, 2 401, 16 807.
Рядом же с этими числами стоят соответственно слова: картина, кошка, мышь, ячмень, мера.
И все! Никаких дальнейших пояснений, никакого ключа к раскрытию смысла этой задачи папирус не дает. Что же это за задача?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:5;Задача 1 mathedu.ru)

Задача 2. Семь старух.

В сочинении Фибоначчи Liber abaci содержится такая задача:
Семь старух отправляются в Рим. У каждой старухи по семи мулов, каждый мул несет по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:7;Задача 2 mathedu.ru)

Задача 3. По дороге в St.-Ives.

В 1801 году в Соединенных Штатах Америки вышло 1-е издание Школьной арифметики (Scholar's Arithmetic) Даниила Адамса. Вариант Ахмесовой задачи изложен там в английских стихах. Если попробовать передать их по-русски, получим:
В Сент-Айвз как-то я шагал; 
Я семь женщин повстречал; 
И у каждой семь мешков, 
А в мешках по семь котов; 
У котов по семь котят.
Сколько всех прийти хотят В Сент-Айвз: женщин и мешков, 
И котяток, и котов?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:7;Задача 3 mathedu.ru)

Задача 4. Русская народная задача.

Существует русская народная задача о нищих (или старцах), о которой упоминает И. А. Износков в своем докладе «О памятниках народной математики».
Шли семь старцев. У каждого старца по семи костылей, На всяком костыле по семи сучков, На каждом сучке по семи кошелей, В каждом кошеле по семи пирогов, А в каждом пироге по семи воробьев. Сколько всего?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:8;Задача 4 mathedu.ru)

Задача 5. Жизнеописание Диофанта.

Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в преклонных годах. 1/6 часть своей продолжительной жизни он провел в детстве, 1/12 в юности. Следующую затем 1/7 своей жизни он был холостым. Через пять лет после его женитьбы у него родился сын, доживший до возраста вдвое меньшего, чем лета его отца. Через четыре года после смерти сына умер и Диофант, оплакиваемый родными. Скажи, если умеешь считать, в каком возрасте он умер?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:9;Задача 5 mathedu.ru)

Задача 6. (Архимеда). О числе песчинок.

Задача эта, предложенная и разрешенная Архимедом (287—212 г. до нашей эры), изложена им в форме обращения к Гелону, сыну Гиерона, тирану города Сиракуз. 
Многие полагают, о царь Гелон, что число песчинок бесконечно, — не тех только песчинок, что находятся около Сиракуз и на всей Сицилии, но всех тех, которые рассеяны на всех обитаемых и необитаемых странах земли. Другие не считают этого числа бесконечным, но думают, что нет такой величины, — что невозможно определить словом количество, превышающее совокупность этих песчинок. Отсюда очевидно, что подобным образом мыслящие люди, если бы даже вообразили себе груду песку, способную заполнить и уравнять все глубины моря и впадины земли вплоть до верхушек высочайших гор, еще более настойчиво утверждали бы, что невозможно обозначить число, большее числа песчинок такой груды. Но я хочу попытаться показать обратное, что некоторые числа, превышают не только число песчинок, способных заполнить собою всю землю, но даже число всей массы песка, равной по объему всей вселенной.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:10;Задача 6 mathedu.ru)

Задача 7. Юридический вопрос.

Древнеримская задача. Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а х/з матери. В случае же рождения дочери, она должна получить */з, а мать 2/8 имущества.
Вдова завещателя родила близнецов—мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:12;Задача 7 mathedu.ru)

Задача 8.

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на 3/4 этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10, дает число 2?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:14;Задача 8 mathedu.ru)

Задача 9. Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20-ти лет?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:15;Задача 9 mathedu.ru)

Задача 10. Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:15;Задача 10 mathedu.ru)

Задача 11. Обезьяны.

Стая обезьян забавлялась. Одна восьмая часть их в квадрате бегала по лесу. Остальные 12 кричали на верхушке холма. Скажи мне число обезьян.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:16;Задача 11 mathedu.ru)

ЗАДАЧИ НЬЮТОНА

Задача 12. Быки на лугу.

На лугу, площадь которого равна $3{\frac {1}{3}}$ акрам, пасутся в продолжение 4 недель 12 быков и за это время съедают как ту траву, что была раньше, так и ту, что подрастала во все это время равномерно. На другом лугу, площадь которого равна 10 акрам, пасутся в продолжение 9 недель 21 бык и также съедают как ту траву, что была раньше, так и ту, что подрастала во все это время равномерно. Сколько нужно пустить быков на третий луг, площадь которого равна 24 акрам, чтобы они в продолжение 18 недель съели как ту траву, что на нем есть, так и ту, которая будет подрастать во все это время равномерно?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:16;Задача 12 mathedu.ru)

Задача 13. Глубина колодца.

Камень падает в колодезь. Определить глубину колодца по звуку, происходящему от удара камня о дно.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:18;Задача 13 mathedu.ru)

Задача 14. Кто на ком женат.

Трое крестьян, Иван, Петр и Алексей, пришли на рынок со своими женами: Марьей, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Узнать это на основании таких соображений: каждое из этих 6-ти лиц заплатило за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов оно купило. Каждый мужчина истратил на 63 копейки больше своей жены. Кроме того, Иван купил 23-мя предметами больше Катерины, а Петр—11-ю предметами больше Марьи.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:18;Задача 14 mathedu.ru)

РУССКИЕ ЗАДАЧИ

Задача 15. Ответ учителя.

Вопроси некто учителя некоего глаголя: повеждь ми колико имаши учеников у себе во училищи, понеже имам сына отдати во училище: и хощу уведати о числе учеников твоих. Учитель же отвещав рече ему: аще придет ми учеников толико же, елико имам, и полтолика, и четвертая часть, еще же и твой сын, и тогда будет у мене учеников 100. Вопросивый же удивлен ответу его отиде и начат изобретати.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:22;Задача 15 mathedu.ru)

Задача 16. Недогадливый купец.

Некий человек продаде коня за 156 рублев, раскаявся же купец нача отдавати продавцу глаголя: яко несть мне леть взяти сицевого коня недостойного таковые высокие цены: продавец же предложи ему иную куплю глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню быти, убо купи токмо гвоздие ихже сей конь имать в подковах своих ног, коня же возми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всяком подкове по шести и за един гвоздь даждь ми едину полушку, за другий же две полущки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи. Купец же видя толь малу цену и коня хотя в дар себе взяти: обещася тако цену ему платит, чая не болше 10 рублев за гвоздие дата. И ведателно есть: коликим купец он проторговался?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:23;Задача 16 mathedu.ru)

Задача 17. Богатство мадамы.

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается каждой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:24;Задача 17 mathedu.ru)

Задача 18. Богатство гасконца.

У приезжего Гасконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:24;Задача 18 mathedu.ru)

Задача 19. Веселый француз.

Веселый Француз, пришед в трактир с неизвестною суммою своего богатства, занял у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять, занявши столько сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец, по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:24;Задача 19 mathedu.ru)

Задача 20.

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:25;Задача 20 mathedu.ru)

Задача 21. Дележ.

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:25;Задача 21 mathedu.ru)

Задача 22. Мена.

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцев по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцев?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:25;Задача 22 mathedu.ru)

ЗАДАЧИ-ШУТКИ

Задача 23. Искусное размещение.

Можно ли разместить 11 лошадей в 10-ти стойлах так, чтобы в каждом стойле было всего по одной лошади?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:31;Задача 23 mathedu.ru)

Задача 24. Расплатился без денег.

В ресторан заходит посетитель и требует пива. Официант приносит бутылку и готов уже раскупорить, как вдруг посетитель передумывает.
— Дайте мне лучше лимонаду.
Официант приносит лимонад, посетитель ег выпивает и собирается уходить. Его догоняет официант.
— Забыли заплатить-с!..
- За что?—изумляется посетитель.
- За бутылку лимонаду-с.
— Вы же взяли за нее пиво.
— Тогда извольте заплатить за пиво. Вы и за пиво не заплатили-с...
— Но ведь я не пил пива. Вы унесли бутылку нераскупоренной,— невозмутимо отвечает посетитель, оставляя официанта в полном недоумении.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:32;Задача 24 mathedu.ru)

Задача 25. Дешевая покупка.

В часовой магазин заходит покупатель и просит показать ему дорогие часы. Он долго выбирает и, наконец, останавливает выбор на солидных дорогих часах. — Что стоят?
— Двести рублей.
— Хорошо, я беру их. Заверните.
Покупатель собирается уже платить, но вдруг взгляд его надает на изящные серебряные часы.
— А эти сколько у вас стоят?
— Эти подешевле будут: сто рублей.
— Право, они мне больше нравятся. Заверните. Покупатель платит 100 рублей, берет часы и направляется к выходу. Но затем снова возвращается.
— Нет, я передумал: решил-таки купить те золотые.
— Как угодно. Прикажете завернуть?
— Пожалуйста. Они стоят двести? - Да.
— Сто рублей я уже дал вам?
— Да. С вас причитается еще сто.
— Возьмите вместо них эти серебряные часы: ведь я купил их у вас за сто рублей..
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:32;Задача 25 mathedu.ru)

Задача 26. Загадочное исчезновение.

Начертите на прямоугольном куске картона 13 одинаковых палочек на равном расстоянии друг от друга. Теперь разрежьте прямоугольник по косой линии, проходящей через верхний конец первой палочки и через нижний конец последней. Если затем вы сдвинете обе половины, то заметите любопытное явление: вместо 13 палочек перед вами окажется всего 12! Одна палочка исчезла бесследно. Куда же она девалась?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:33;Задача 26 mathedu.ru)

Задача 27. Куда девался китаец.

На только что рассмотренном принципе основана остроумная игрушка-задача. Вы видите земной шар, по краям которого художник разместил 13 китайцев в весьма воинственных позах. Внутренний диск вырезан и может вращаться вокруг своего центра. И вот, слегка повернув этот круг, вы уничтожаете одного китайца: вместо прежних 13 перед вами уже 12. Тот китаец, который находился внутри круга, бесследно улетучился!..
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:35;Задача 27 mathedu.ru)

Задача 28. Разрубить подкову.

Двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая частей после удара.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:36;Задача 28 mathedu.ru)

Задача 29. 7 роз.

На ковре изображено 7 роз. Требуется тремя прямыми линиями разрезать ковер на семь частей, каждая из которых содержала бы по одной розе.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:37;Задача 29 mathedu.ru)

Задача 30. Разрезать шахматную доску.

Даны две шахматных доски: обыкновенная в 64 клетки и другая в 36 клеток. Требуется каждую из них разрезать на две части так, чтобы из всех полученных 4 частей составить новую шахматную доску, содержащую на каждой стороне по 10 клеток.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:38;Задача 30 mathedu.ru)

Задача 31. Из креста квадрат.

Разрезать бумажный греческий крест (прямой и равноконечный) одним взмахом ножниц на четыре таких одинаковых части, чтобы из них можно было сложить квадрат.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:38;Задача 31 mathedu.ru)

Задача 32. Устроить хозяйственный уровень.

Из трех тонких, прямых, хорошо выструганных и с параллельными краями досок можно легко построить прибор, полезный при многих домашних столярных, плотничьих и сельско-хозяйственных работах. Прибор носит название уровня и служит для определения горизонтальности поверхности в случаях, когда не требуется слишком большой точности, например, при нивелировке почвы на полях и огородах и т. д. 
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:39;Задача 32 mathedu.ru)

Задача 33. Построить прибор, наглядно поясняющий тригонометрические линии.

Желающий может заняться на досуге устройством прибора, наглядно иллюстрирующего тригонометрические линии, представляющие тригонометрические отношения.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:41;Задача 33 mathedu.ru)

Задача 34. Устроить прибор для обращения кругового движения в прямолинейное.

Положим, что мы ведем карандашом, касаясь края какого-либо кружка, и таким образом получаем окружность. В данном случае мы пользуемся, значит, одним кругом для получения другого. Но для получения окружности и кругов у нас есть и другой инструмент, не круглый сам по себе, а именно — циркуль. Если необходимо провести прямую линию, то известный геометрический постулат допускает употребление линейки, что требует прямого края для проведения прямой линии, т.-е. прямая линия получается, как копия.
Возможно ли устроить прибор не прямой сам по себе, который мог бы вычерчивать прямую линию? 
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:42;Задача 34 mathedu.ru)

Задача 35. О пауке и мухе.

На потолке комнаты в углу сидит паук, а на полу в противоположном углу — муха. Какой путь должен избрать паук, чтобы добраться до мухи по кратчайшему расстоянию.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:45;Задача 35 mathedu.ru)

КОМБИНАЦИИ

Задача 36. Размещение пассажиров.

Четверо пассажиров входят в вагон, в котором есть 6 свободных мест. Сколькими способами они могут разместиться?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:147;Задача 36 mathedu.ru)

Задача 37. Разнообразие костюмов.

Если бы у кого-нибудь было 5 пар брюк, 8 жилетов и 7 сюртуков, то в скольких различных костюмах он мог бы появляться?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:148;Задача 37 mathedu.ru)

Задача 38. Разнообразие костюмов.

 Если бы у кого-нибудь было 5 пар брюк, 8 жилетов и 7 сюртуков, то в скольких различных костюмах он мог бы появляться?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:148;Задача 38 mathedu.ru)

Задача 39. Выбор предметов.

Сколькими способами можно сделать выбор, если брать по нескольку или все из п данных предметов?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:148;Задача 39 mathedu.ru)

Задача 40.

Сколькими способами п предметов могут быть розданы р лицам, если относительно числа вещей, которое может получить каждый, нет никаких ограничений?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:149;Задача 40 mathedu.ru)

Задача 41.

Сколькими способами 5 вещей могут быть распределены между 2-мя лицами?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:149;Задача 41 mathedu.ru)

Задача 42.

Имеется 3 ореха, 4 яблока и 2 апельсина. Сколько будет комбинаций для выбора, если предлагают взять, по меньшей мере, по одной штуке каждого лакомства?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:149;Задача 42 mathedu.ru)

Задача 43.

Сколько слов о четырех буквах можно составить из 17-ти согласных и 5-ти гласных, если в середине должны находиться две различные гласные, а по краям —по одной согласной, которые могут быть или одинаковы, или различны?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:149;Задача 43 mathedu.ru)

Задача 44. На улицах города.

Улицы города расположены наподобие линий шахматной доски, при этом ж улиц идет с севера на юг, а п—с востока на запад. Сколькими путями можно пройти от северо-западного угла на юго-восточный, идя возможно кратчайшим путем?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:150;Задача 44 mathedu.ru)

ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ

Задача 45. Церемонный обед семи.

Семь лиц должны были обедать, но между ними зашел церемонный спор относительно мест, где кому сесть. Наконец, кто-то, чтобы прекратить пререкания, предложил всем сесть за стол как попало, но с тем, чтобы опять собраться завтра и в следующие дни обедать вместе и каждый раз садиться по-иному, до тех пор, пока не будут исчерпаны все возможные перемещения. Спрашивается, сколько раз для этого придется им вместе обедать?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:155;Задача 45 mathedu.ru)

Задача-сказка 46. Церемонный обед 12-ти.

В один прекрасный вечер сошлось двенадцать человек, чтобы пообедать вместе. Но так как места за столом не были назначены заранее, между ними возник церемонный спор в то время, когда нужно было садиться за стол. Кто-то, чтобы выйти из затруднения, предложил испробовать последовательно все возможные способы размещения. Чтобы разрешить вопрос, оставалось только выбрать перемещение, кажущееся наиболее удачным. Попробовали было пересаживаться в течение нескольких минут, но смешались, и дело, казалось, никак не могло благополучно разрешиться само собою. К счастью, между приглашенными находился учитель городского колледжа, имевший кой-какие познания в математике.
— Друзья мои,—сказал он,—суп простынет. Давайте тянуть жребий, скорее дело будет.
Последовали благоразумному совету и, обед закончился самым радушным образом.
Является вопрос, почему учитель не нашел возможным испробовать все возможные перемещения на самом деле?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:156;Задача 46 mathedu.ru)

Задача 47. Спор кучера с пассажиром.

На станции дилижансов нетерпеливый проезжий поспорил с кучером. Кучер обязался в час перепрягать дилижанс 5-ю лошадьми всеми способами, какими только возможно. Если он это сделает, то получает с пассажира 100 руб., если же нет, то пассажир едет дальше на счет кучера. Каков был результат спора?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:162;Задача 47 mathedu.ru)

Задача 48.

Сколькими способами могут разместиться в классе 30 учеников?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:164;Задача 48 mathedu.ru)

Задача 49.

Сколько различных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 так, чтобы каждая цифра находилась в каждом числе только по одному разу, а числа, начинающиеся нулем, не считать?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:164;Задача 49 mathedu.ru)

Задача 50.

Сколько чисел больших 23 000 получится, если всеми возможными способами переставлять цифры 1, 2, 3, 4, 5?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:165;Задача 50 mathedu.ru)

Задача 51.

Сколько групп можно составить из букв слова «склеить» так, чтобы гласные не были разъединены?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:165;Задача 51 mathedu.ru)

Задача 52.Шахматный вопрос.

Шахматная фигура тура (или ладья), как известно, может «брать» всякую фигуру, стоящую с ней на одном столбце клеток или на одной горизонтальной линии. Сколькими способами на шахматной доске можно расставить 8 тур так, чтобы ни одна из них не могла брать другой?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:167;Задача 52 mathedu.ru)

Задача 53.

Зал украшается 14-ю флагами, из которых 2 синих, 3 красных, 2 белых, 3 зеленых, 2 желтых и 2 фиолетовых. Сколькими способами можно их расположить?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:171;Задача 53 mathedu.ru)

Задача 54.Письма и адреса.

Имеется n писем, и для них заготовлено n конвертов с адресами. Сколькими способами можно разместить письма так, чтобы ни одно из них не находилось в назначенном для него конверте?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:172;Задача 54 mathedu.ru)

Задача 55.

Зададим себе такой простой вопрос:Сколько различных двузначных чисел можно составить из трех цифр 1, 3, 5?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:174;Задача 55 mathedu.ru)

Задача 56.

Бросают три игральных кости. Сколькими способами они могут вскрыться?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:180;Задача 56 mathedu.ru)

Задача 57.Выборы в комиссию.

Из 7 русских и 4 немцев нужно составить комиссию в 6 лиц. Сколькими способами можно это сделать, если в состав комиссии должно войти не более и не менее, как 2 немца?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:183;Задача 57 mathedu.ru)

Задача 58.

Из 4 мужчин и 8 женщин должна быть составлена комиссия в 6 человек. Сколькими способами может быть сделан выбор, если: 1) в состав комиссии должен входить только один мужчина: 2) если в нее должен войти по меньшей мере один мужчина?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:183;Задача 58 mathedu.ru)

Задача 59.

Сколькими способами 7 мужчин и 7 женщин могут разместиться за столом так, чтобы не оказывалось двух женщин рядом?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:184;Задача 59 mathedu.ru)

Задача 60.

Замок с секретом состоит из трех колец с 15-ю различными буквами каждое. Сколько безуспешных попыток возможно сделать раньше, чем отпереть замок?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:184;Задача 60 mathedu.ru)

СПОСОБ ШАХМАТНОЙ ДОСКИ

Задача 61.

Найти сумму п первых целых натуральных чисел по способу шахматной доски.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:185;Задача 61 mathedu.ru)

Задача 62.

Способом шахматной доски показать, что
$8(1+2+3+4+...+n)=(2n+1)^{2}$
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:186;Задача 62 mathedu.ru)

Задача 63.

Если в каждой клетке шахматной доски написать по единице, то легко установить тождественное равенство
$1+3+5+...+(2n-1)=2n^{2}$
т.-е. что сумма n первых последовательных нечетных чисел равна квадрату числа этих чисел.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:187;Задача 63 mathedu.ru)

Задача 64.

Если в клетки каждой горизонтальной линии внести натуральные числа от 1 до n, то найдем результат
$3S^{2}$n$-S^{1}$n$=n^{2}(n+1)$
откуда легко найти сумму квадратов первых n чисел, $S^{2}$n.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:187;Задача 64 mathedu.ru)

Задача 65.

Если числа, написанные в клетках, образуют Пифагорову таблицу, дающую произведения n первых чисел по два, то найдем тождество
$S^{3}$n$=(S^{1}$n$)^{2}$
 (Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:187;Задача 65 mathedu.ru)

Задача 66.

Если числа, написанные в клетках, будут квадраты чисел Пифагоровой таблицы, то найдем соотношение
$2S^{5}$n$+S^{3}$n$=3(S^{2}$n$)^{2}$
 (Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:188;Задача 66 mathedu.ru)

Задача 67.

Этим же методом Longchamps нашел простой способ суммирования одинаковых степеней натуральных чисел, показав, что если в каждой горизонтальной полосе написать числа $1^{p}$, $2^{p}$, $3^{p}$ ... $n^{p}$, то получим тождество
$nS^{p}$n$=S^{p}$n$+S^{p}$n-1$+S^{p}$n-2$+...+S^{p}$1,
посредством которого можно последовательно находить $S^{2}$n,$S^{3}$n, $S^{4}$n...
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:188;Задача 67 mathedu.ru)

ОТРЫВКИ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задача 68. (Кавалера де-Мере). Недоконченная игра.

Два игрока, поставивши поровну, начали игру, условившись, что тот, кто раньше выиграет известное число партий, получит всю ставку. По некоторым обстоятельствам игра не могла быть окончена и прекратилась в тот момент, когда первому игроку не хватало до конца одной, а второму—двух партий. Спрашивается, как игроки должны поделить ставку между собою?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:197;Задача 68 mathedu.ru)

Задача 69. Игра в монету.

Подбрасывается монета один раз. Какова вероятность, что выпадет «серп»?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:207;Задача 69 mathedu.ru)

Задача 70. Двукратное бросание монеты.

Монета подбрасывается вверх 2 раза. Какова вероятность, что при этом двукратном подбрасывании хотя один раз появится «серп»?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:208;Задача 70 mathedu.ru)

Задача 71. N-кратное бросание монеты.

Монету подбрасывают последовательно п раз. Какова вероятность, что «серп» и «решетка» будут появляться в известном, наперед заданном, порядке?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:208;Задача 71 mathedu.ru)

Задача 72. Бросание одной кости.

Бросается игральная кость. Определить величину вероятности, что выпадет 4 очка.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:209;Задача 72 mathedu.ru)

Задача 73. Две кости.

Как велика вероятность получить 8 очков, бросив две кости один раз?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:210;Задача 73 mathedu.ru)

Задача 74.

Какова вероятность, что, бросая n раз одну шестигранную кость, мы получим n раз под-ряд очко 3?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:212;Задача 74 mathedu.ru)

Задача 75.

Бросают две кости три раза. Какова вероятность, что хотя один раз выпадет дублет (т.-е. на обеих костях будет одинаковое количество очков).
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:212;Задача 75 mathedu.ru)

Задача 76.

Бросают n раз две кости. Какова вероятность, что получится n раз сумма по 7 очков?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:213;Задача 76 mathedu.ru)

Задача 77. Карты.

Из колоды карт вынимается одна карта. Определить вероятность появления: 1) пиковой дамы, 2) какого-либо туза, 3) карты червонной масти, 4) какой-либо фигуры?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:213;Задача 77 mathedu.ru)

Задача 78. Еще одна задача кавалера де-Мере.

Определить вероятность, при которой, бросив п раз подряд две кости, получим хотя раз 12 очков («Sonnez»).
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:213;Задача 78 mathedu.ru)

Задача 79. В чем дело?

Имеются три шкатулки, совершенно одинаковых по внешнему виду, в каждой из них по два ящичка, а в каждом ящичке по монете. В одной шкатулке только золотые монеты, в другой—только серебряные, а в третьей—в одном ящичке золотая, а в Другом серебряная монета. Берут одну из шкатулок (все равно какую). Какова вероятность найти в ней в одном из ящиков золотую, а в другом—серебряную монету?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:215;Задача 79 mathedu.ru)

Задача 80. В чем дело?

В урне заключается m белых и п черных шаров. Из этой урны вынимаем наудачу два шара. При этом опыте могут появиться три события: 1) два белых, 2) белый и черный, 3) два черных шара. Как велика вероятность каждого из этих событий?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:217;Задача 80 mathedu.ru)

Задача 81.

Имеется несколько урн с шарами: в первой m белых и n черных шаров, во второй—m' белых и n' черных, в третьей m" и n" и т. д. Как велика вероятность, что, если вынуть по одному шару из каждой урны, все появившиеся шары будут белые?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:220;Задача 81 mathedu.ru)

Задача 82.

Из урны, содержащей m белых и п черных шаров, вынимаем по одному шару и каждый раз вынутый шар откладываем в сторону. Как велика вероятность выхода под-ряд двух белых шаров?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:221;Задача 82 mathedu.ru)

Задача 83.

Из двух урн, содержащих первая m белых и п черных, вторая—m—1 белых и п черных шаров, вынимаем по одному шару. Как велика вероятность появления двух белых шаров?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:222;Задача 83 mathedu.ru)

Задача 84.

Предстоит произвести один за другим два опыта, — назовем их чрез Р и Q; при первом опыте может появиться событие А, при втором — В. При первом опыте число всех равновозможных случаев m, из которых n благоприятны появлению события А. Условия второго опыта меняются в зависимости от появления или непоявления события А: если событие А появилось, то при втором опыте число всех возможных случаев равно m', а число случаев, благоприятных событию В, равно n'; если же событие А не появилось, то при втором опыте всех возможных случаев будет m", из которых n" благоприятны событию В. Как велика вероятность появления двух событий А и В?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:222;Задача 84 mathedu.ru)

Задача 85.

Даны две урны с шарами; в одной п белых и т—п черных, в другой—п'. белых и m'—п' черных шаров. Вынимаем один шар из первой урны, остальные же шары пересыпаем во вторую урну; после этого, перемешавши шары, вынимаем один шар из второй урны. Как велика вероятность появления два раза под-ряд двух белых шаров?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:224;Задача 85 mathedu.ru)

Задача 86.

Из полной колоды карт вынимаем три карты. Как велика вероятность, что все вынутые карты будут фигуры?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:225;Задача 86 mathedu.ru)

Задача 87.

Из урны, содержащей а белых и b черных шаров, вынимаем по одному шару (каждый раз вынутый шар откладываем в сторону) до тех пор, пока появится белый шар. Как велика вероятность, что белый шар появится за n-ым разом?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:225;Задача 87 mathedu.ru)

Задача 88.

В урне n шаров, из которых m белых. Вы m раз под-ряд извлекете шары, при чем каждый раз вынутый шар кладется в сторону. Какова вероятность, что все m вынутых шаров окажутся белыми?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:227;Задача 88 mathedu.ru)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Задача 89.

Математическое ожидание выигрыша в лотерею.
Выпущено 1200000 билетов с 2928 выигрышами, размеры которых определены следующим образом:
1 выигрыш в 100000 руб.;
1 » » 50000 »
1 » » 25000 »
10 выигрышей по 10000 »
15 » » 5000 »
100 » » 1000 »
200 » » 500 »
2600 » » 250 »
Определить математическое ожидание выигрыша для владельца одного билета.
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:230;Задача 89 mathedu.ru)

УСЛОВИЕ БЕЗОБИДНОСТИ ИГР

Задача 90.

В мешке находится 10 белых и 15 черных шаров. Определить вероятность, что, взяв зараз оттуда 5 шаров, мы вытащим 2 белых и 3 черных?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:232;Задача 90 mathedu.ru)

Задача 91. Итальянская лотерея.

В сосуде содержится 90 билетов с нумерами 1,2, 3, 4,......, 89, 90. Вынимают сразу или последовательно 5 билетов, при чем, в случае последовательного изъятия, ни один из вынутых билетов не возвращают обратно в сосуд и новых туда также не подкладывают. Определить вероятность выигрыша на заранее выбранные: простую одиночку, на амбо, терно, кватерно, и наконец, на квинтерно?
(Игнатьев,В царстве смекалки,кн.3,1925:233;Задача 91 mathedu.ru)